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OMB 2021 Finale MIDI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MIDI Question 3
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An dit à Mu : « Si tu me donnes de tes cartes d’invitation, j’en aurai fois autant que toi. » Mu répond : « Si, au lieu de cela, tu me donnes de tes cartes, c'est moi qui en aurai fois autant que toi. »

(a) Combien de cartes portent An et Mu ?

(b) Se peut-il qu’en se donnant et cartes, An et Mu en aient fois autant l'un que l'autre, au lieu de fois ?

(c) Quel est le plus grand naturel tel qu'en se donnant et cartes, An et Mu puissent en avoir fois autant l'un que l'autre ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 22/6/2021 21:55  Mis à jour : 22/6/2021
Considérons la question (c) en posant respectivement a et m le nombre de cartes d'An et de Mu. Les contraintes nous donnent les équations suivantes :

a + 13 = n(m-13) (1)
m + 17 = n(a-17) (2)

En sommant d'une part (1) et (2) et en soustrayant (2) de (1) d'autre part, nous avons après calculs :

a + m = 30(n+1)/(n-1) = 30 (1 + 2/(n-1))
a - m = 4

Il s'ensuit la solution (somme - soustraction des deux dernières équations) :

a = (17n+13)/(n-1)
m = (13n+17)/(n-1)


Comme a et m sont des nombres naturels, il en va de même de a + m. Ainsi, n-1 divise 2 ou n-1 divise 30. Vu que div(30) = {1;2;3;5;6;10;15;30}, il s'ensuit que n fait partie de l'ensemble {2;3;4;6;7;11;16;31}.

Nous pouvons à présent répondre aux différentes questions !


(a) On calcule a et m pour n=3, ce qui donne :

a = 32
m = 28


(b) Nous avons montré que n = 4 est une solution du problème général !


(c) Nous obtenons max n = 31.
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