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OMB 2021 Finale MIDI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MIDI Question 2
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Comme sur la figure ci-dessous, le point est intérieur au parallélogramme , sur sa diagonale , et le point est l'intersection de avec . Les aires des triangles ombrés sont et .


(a) Que vaut ?

(b) Que vaut ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 22/6/2021 21:16  Mis à jour : 22/6/2021
(a) Les triangles AEF et CBF sont semblables (côtés parallèles deux à deux). En posant k = |AF|/|FC| le rapport de similitude, nous avons k² = aire(AEF)/aire(CBF) = 1/9 et donc, k = 1/3.

A l'aide d'une division terme à terme par |FC|, il vient que |AF|/|AC| = |AF|/(|AF| + |FC|) = k/(k+1) = 1/4.


(b) Par analogie, les hauteurs des deux triangles AEF et ABE relatives au côté commun de longueur |EA| sont dans un rapport de 1/4.

Dès lors, aire(ABE) = 4*aire(AEF) = 4. D'où, aire(ABF) = aire(ABE) - aire (AEF) = 3.

De plus, la diagonale [AC] coupe le parallélogramme ABCD en deux triangles de même aire. Il en résulte l'équation suivante :

aire(CDEF) + aire(AEF) = aire(BCF) + aire(ABF)
aire(CDEF) + 1 = 9 + 3
aire(CDEF) = 11.
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