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OMB 2021 Finale MIDI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MIDI Question 1
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Un triplet de nombres réels strictement positifs est korek s'il vérifie les deux conditions suivantes :





(a) Le triplet est-il korek ?

(b) Si et , existe-t-il un nombre tel que soit korek ?

(c) Existe-t-il des triplets koreks si ?

(d) Existe-t-il des triplets koreks avec ?

(e) Pour quelle(s) valeur(s) de le triplet est-il korek ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 22/6/2021 20:37  Mis à jour : 22/6/2021
(a) 4 x 4 x 1/8 = 2 > 1
4 + 4 + (1/8) = 65/8
(1/4) + (1/4) + 8 = 17/2 = 68/8

Il en résulte que (4;4;1/8) est korek !


(b) xyz = z > 1
2021 + (1/2021) + z < (1/2021) + 2021 + (1/z)
ssi z < (1/z) ssi z² < 1 et donc, z < 1 puisque
z > 0.

Les 2 conditions se contredisent, donc aucun réel strictement positif z les vérifie !


(c) xyz = yz >1
1 + y + z < 1 + (1/y) + (1/z)
ssi y + z < (1/y) + (1/z)
ssi yz(y+z) - (y+z) < 0
ssi (y+z)(yz-1) < 0
ssi y+z < 0 vu que yz > 1

Or, y+z > 0 étant donné que x > 0 et y > 0.
Donc, aucun tel triplet (x,y,z) est korek.


(d) D'une part, xyz = x³ > 1 et donc, x > 1.
D'autre part, la deuxième condition se ramène à l'équation x² < 1 ou encore, 0 < x < 1.

A nouveau, une contradiction apparaît et aucun triplet de la forme (x,x,x) est korek.


(e) condition 1 : (1/4x) > 1, d'où x < (1/4)
condition 2 : x < 4x ssi x > 0.

Par conséquent, 0 < x < 1/4 pour que (x;1/2x;1/2x) soit korek !
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