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OMB 2021 Finale MINI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MINI Question 1
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Cette question est divisée en deux questions distinctes, chacune valant la moitié des points.

Question 1.

Deux hexagones réguliers possèdent le même centre, la même longueur de côté et les mêmes axes de symétrie, comme sur la figure ci-contre. Leurs côtés se coupent en formant deux angles aigus et deux angles obtus. Déterminer les amplitudes de ces quatre angles.


Question 2.

À l'arrivée d'une course entre sportifs , et , voici trois exemples de résultats possibles en première position :
arrive en première position ;
arrive en première position ;
, et sont ex aequo.
Combien y a-t-il de résultats possibles en première position quand sportifs font la course entre eux et la terminent ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 15/5/2021 22:06  Mis à jour : 15/5/2021
Question 1

Comme un hexagone convexe peut se découper en 4 triangles, la somme de ses angles intérieurs vaut 4 fois 180° = 720°. Tout angle intérieur d'un hexagone convexe régulier vaut donc 720°/6 = 120°.

Il s'ensuit que chaque angle aigu recherché fait partie d'un triangle isocèle (en raison de symétrie) dont l'angle de base obtus est de 120°. D'où, chaque angle aigu mesure (180°-120°)/2 = 30°.

Chaque angle obtus recherché mesure alors 180°-30° = 150° (angles supplémentaires).
Anonyme
Posté le : 21/5/2021 8:04  Mis à jour : 21/5/2021
2)
Chaque sportif a la possibilité d'être dans le groupe gagnant (seul ou ex æquo) ou de ne pas en faire partie. Il y a donc 2×2×2×2 résultats possibles. Dans ce calcul on considère que c'est possible qu'aucun participant ne gagne, il faut donc soustraire 1 pour avoir au moins un gagnant.
Le résultat final est 2⁴-1 = 15
Anonyme
Posté le : 15/1/2022 16:19  Mis à jour : 15/1/2022
Question 1 :

Les deux hexagones réguliers forment douze triangles isocèles et un dodécagone régulier dont chaque côté est la base d'un de ces triangles isocèles.

La formule générale pour connaître la somme des angles intérieurs d'un polygone de n côtés est :
(n-2)*180°.

Pour connaître la mesure de l'angle obtus, on applique la formule précédemment citée pour un dodécagone : (12-2)*180° = 1800° , on divise maintenant par 12 pour connaître la mesure de l'angle du polygone régulier : 1800°:12 = 150°.

L'angle obtus et l'angle aigu sont supplémentaires, donc l'angle aigu mesure 180°-150° = 30°.

(Les angles aigus ainsi que les angles obtus sont les mêmes car opposés par le sommet)

Question 2 :

Chaque participant est en soit en première position, soit il ne l'est pas. On a donc deux "choix" par participant : 2^4
Cependant, il faut soustraire 1 car on a compté le résultat où aucun des participants n'arrive en première position. Le nombre de résultats possibles est alors 2^4-1 = 15.




Pour aller plus loin, on peut considérer E, l'ensemble des n participants : E = {A;B;C;D;E;...}.
Le nombre de résultats possibles est le nombre de sous-ensemble de E : {A}, {B}, {A;C}, {A;N;H} {B;D;E;F} etc...

Pour calculer ce nombre il suffit de résonner comme précédemment : soit je prends un élément, soit je ne le prends pas. Donc il y a 2^n sous ensemble possible, mais il faut toujours prendre en compte que l'ensemble vide {} est un sous-ensemble de tout ensemble.

A.B.
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