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OMB 2008 Finale MIDI Question 2 - Solution de Philippe Schram Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MIDI Question 2 - Solution de Philippe Schram
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Question :

On considère 2008 fractions




dont les numérateurs sont des nombres naturels et les dénominateurs des nombres naturels non nuls. Démontrer que si et sont respectivement la plus petite et la plus grande de ces fractions, on a




Solution de Philippe Schram :


Puisque est la plus petite de ces fractions et que est la plus grande, on peut dire que et pour tout .

Puisque et est un naturel, on a pour tout .

D'où, en utilisant pour successivement les valeurs , on retrouve :





En additionnant ces inégalités, on retrouve





En réitérant pour :

pour tout , puisque .

D'où en prenant la somme,





En utilisant (1) et (2), on trouve .



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