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OMB 2021 Finale MINI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MINI Question 3
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Des hexagones réguliers de centre sont disposés comme sur la figure ci-dessous. Aux sommets de l'hexagone central sont inscrits les nombres naturels de 1 à 6. Aux sommets du deuxième hexagone sont inscrits les six nombres naturels suivants, décalés d'un sixième de tour autour du point , et ainsi de suite. Chaque nombre est associé à une direction : les nombres 1, 8, 15... ont la direction ; les nombres 2, 9, 16... ont la direction , et ainsi de suite.


(a) Quel est le plus petit nombre sur le 8e hexagone ?

(b) Quelle est la direction de ce plus petit nombre sur le 8e hexagone ?

(c) Quel est le nombre dans la direction du 50e hexagone ?

(d) Sur quel hexagone le nombre 2021 est-il inscrit ?

(e) Quelle est la direction du nombre 2021 ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 20/6/2021 21:47  Mis à jour : 20/6/2021
Numérotons les hexagones du plus petit au plus grand par un indice naturel k et désignons par p un nombre naturel qui peut valoir 1,2,3,4,5 ou 6.

Alors le kème hexagone contient les 6 nombres de la forme 6(k-1)+p. De plus, nous remarquons que si n est un nombre naturel non nul, alors 6n et 6n+1 ont la même direction.

(a) k=8 => le 8ème hexagone contient les nombres de la forme 6(8-1)+p = 42 + p.

D'où, le plus petit nombre recherché est 43 (obtenu pour p=1).

(b) 43 a la même direction que 42 et donc, 43 a la direction F (vu que 42 = 6*7 et que 7 est de la forme 1+6n).

(c) k=50 => nombres de la forme 6(50-1)+p = 294 + p. Comme 294 = 6*49 et que 49 est de la forme 1+6n, 294 et 295 ont la direction F. Ainsi, le nombre qui a la direction D est 295 + 4 = 299.

(d) 2021 = 6*336+5 = 6(337-1)+5 se trouve sur le 337ème hexagone.

(e) 336 est de la forme 6n et 6*336 a donc la direction A. Il s'ensuit que 6*336+1 a aussi la direction A. Dès lors, 6*336+5 = (6*336+1)+4 a la direction E.
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