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OMB 2021 Finale MINI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MINI Question 4
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Des nombres sont inscrits sur un tableau d'école. Je choisis au hasard deux de ces nombres, et , je les efface du tableau et je les remplace par le seul nombre . Je répète ces opérations jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul nombre au tableau.

(a) Si les nombres inscrits sur le tableau au départ sont , et , quel sera le dernier nombre restant au tableau ? Dépendra-t-il de l'ordre dans lequel je les choisirai ?

(b) Si les nombres inscrits sur le tableau au départ sont , , ..., , quel sera le dernier nombre restant au tableau ?



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Anonyme
Posté le : 20/6/2021 22:07  Mis à jour : 20/6/2021
Soit un tableau de n nombres (n>=2) notés ai où i est un indice naturel de 1 à n.

Alors, par récurrence, on peut montrer que le nombre final obtenu après (n-1) applications du procédé est donné par somme des ai - (n-1) où i varie de 1 à n.

Ceci montre que le dernier nombre ne dépend pas de l'ordre dans lequel on choisit les nombres ai vu que l'addition est commutative dans les nombres naturels.

(a) 5 + 10 + 3 - (3-1) = 18 - 2 = 16

(b) ai = i pour i allant de 1 à 2021.

somme des ai - (n-1) = (1+2+3+...+2021) - (2021-1) = 2021*(2021+1)/2 - 2020 = 2021 * 1011 - 2020 = 2 043 231 - 2020 = 2 041 211
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