OMB - OMB 2021 Finale MINI Question 4

OMB 2021 Finale MINI Question 4

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Des nombres sont inscrits sur un tableau d'école. Je choisis au hasard deux de ces nombres, $a$ et $b$ , je les efface du tableau et je les remplace par le seul nombre $a+b-1$ . Je répète ces opérations jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul nombre au tableau.

(a) Si les nombres inscrits sur le tableau au départ sont $5$ , $10$ et $3$ , quel sera le dernier nombre restant au tableau ? Dépendra-t-il de l'ordre dans lequel je les choisirai ?

(b) Si les nombres inscrits sur le tableau au départ sont $1$ , $2$ , $3$ ..., $2021$ , quel sera le dernier nombre restant au tableau ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 20/6/2021 22:07 Mis à jour : 20/6/2021
Soit un tableau de n nombres (n>=2) notés ai où i est un indice naturel de 1 à n. Alors, par récurrence, on peut montrer que le nombre final obtenu après (n-1) applications du procédé est donné par somme des ai - (n-1) où i varie de 1 à n. Ceci montre que le dernier nombre ne dépend pas de l'ordre dans lequel on choisit les nombres ai vu que l'addition est commutative dans les nombres naturels. (a) 5 + 10 + 3 - (3-1) = 18 - 2 = 16 (b) ai = i pour i allant de 1 à 2021. somme des ai - (n-1) = (1+2+3+...+2021) - (2021-1) = 2021(2021+1)/2 - 2020 = 2021 1011 - 2020 = 2 043 231 - 2020 = 2 041 211

Anonyme	Posté le : 29/12/2023 13:15 Mis à jour : 29/12/2023
si tu regardes 5 10 3 le dernier nombre est egale à 16 donc tu peux deduire qui le dernier chiffre d'une suite de nombres est egale a (la somme de tout les nombre) - (le nombre de chiffres -1). donc a 16 et non ca ne depend pas. b 1011*2021-2020 = 2041211.