OMB - OMB 2022 Finale MINI Question 3

OMB 2022 Finale MINI Question 3

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La diagonale $[ AC ]$ d'un rectangle $ABCD$ est partagée en quatre parties égales par les points $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ , comme sur la figure ci-dessous. Les points $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ sont les projections orthogonales sur $[ CD ]$ des points $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ respectivement. Les points $S_1$ , $S_2$ et $S_3$ sont les projections orthogonales sur $[ BC ]$ des points $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ respectivement. L'aire du rectangle $ABCD$ vaut $1$ .

a) Quelle est l'aire du rectangle $CR_1P_1S_1$ ?

b) Quelle est l'aire du polygone ombré $S_1P_1R_1DAB$ ?

c) Sur une nouvelle figure, partageons à présent la diagonale $[ AC ]$ en huit parties égales par de nouveaux points $P_1, P_2, \ldots, P_7$ et construisons les points $R_1, R_2, \ldots, R_7$ et $S_1, S_2, \ldots, S_7$ par le même procédé que dans le cas du partage de la diagonale en quatre. Quelle est maintenant l'aire du polygone $S_1P_1R_1DAB$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 12/6/2022 10:48 Mis à jour : 12/6/2022
$\textrm{aire } CR_1P_1S_1=\left(\frac34\right)^2$ $\textrm{aire } SP_1R_1DAB=1-\left(\frac34\right)^2$ $\textrm{aire } SP_1R_1DAB=1-\left(\frac78\right)^2$ CVH

Anonyme	Posté le : 16/6/2022 14:15 Mis à jour : 16/6/2022
a) (3/4)² = 9/16 (rapport de similitude de 3/4) b) 1 - 9/16 = 7/16 c) 1 - (7/8)² = 1 - 49/64 = 15/64