OMB - OMB 2022 Finale MIDI Question 1

OMB 2022 Finale MIDI Question 1

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Le triangle $ABC$ est un triangle quelconque dont $[AC]$ est le plus grand côté. Les cercles de centre $A$ passant par $B$ et de centre $C$ passant par $B$ coupent $[AC]$ en $D$ et $E$ respectivement.

a) Si, dans le triangle $ABC$ , les angles en $A$ et en $C$ mesurent respectivement $60^\circ$ et $20^\circ$ , quelle est l'amplitude de $\widehat{EBD}$ ?

b) De manière générale, quelle est l’amplitude de $\widehat{EBD}$ , en fonction de l’amplitude de $\widehat{ABC}$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 16/6/2022 20:09 Mis à jour : 16/6/2022
Notons par B1 l'angle ABE, B2 l'angle CBD, D1 l'angle BDE, D2 l'angle BDC, E1 l'angle AEB, E2 l'angle CEB, x l'angle EBD et B = B1 + x + B2. Comme AB = AD (cercle de centre A passant par B), on a B1 + x = D1 (1). De même, vu que CB = CE (cercle de centre C passant par B), on a B2 + x = E2 (2) Alors, (1) + (2) nous fournit B1 + x + B2 + x = D1 + E2 = 180° - x (somme des angles dans le triangle BDE). Il s'ensuit que B + x = 180° - x et donc, x = (180°-B)/2 = 90° - B/2 a) B = 180° - 60° - 20° = 100° => x = 90° - 50° = 40° b) x = (180° - B)/2 = 90° - B/2