Avant tout, b et c sont des naturels et a est un naturel non nul.

Mais,

-a, b et c sont plus petits que 7, car si il y avait un chiffre plus grand ou égal à 7 dans le nombre abc, a! + b! + c! vaudrait plus que 7!=5040 et serait un nombre à plus de 3 chiffres.

-a, b et c sont plus petits que 6, comme 6!=720, a aurait valu 7 ou plus, ce qui est impossible comme expliqué précédemment.

-Il y a au moins un "5" dans le nombre abc, car sans 5, a! + b! + c! aurait valu tout au plus 4! + 4! + 4! = 72, ce qui est impossible car a serait nul.

-a ne peut pas valoir 5 car si a valait 5, abc vaudrait 500 ou plus, or a! + b! + c! peut valoir tout au plus 5! + 5! + 5! = 120 + 120 + 120 = 360 < 500 si a, b et c sont plus petits que 6.

-Il ne peut il y avoir plus d'un "5", abc serait forcément 255 , ce qui n'est pas une solution (la somme des factorielles valant 242). En effet, a! + b! + c! vaudrait forcément 240 + a!, a ne pouvant pas valoir 5. Ceci dit, 240 + a! vaut au maximum 240 + 24 = 244 et ne peut donc atteindre 300 et faire moins de 200, donc a=2 dans ce cas.

-Ce seul et obligatoire "5" ne peut être le chiffre des dizaines, le seul moyen d'en obtenir un avec la somme de 2 factorielles de naturels inférieurs à 5 et de celle de 5 est 120 + 24 + 6 = 150 (le résultat maximal étant 120 + 24 + 24 = 168 et le 2ème plus grand 120 + 24 + 6 = 150, les autres sont strictement plus petits que 150 et valent au minimum 120 + 1 + 1 = 122) ce qui n'est pas une solution (120 + 1 + 1 = 122 ≠ 150)

-Ce "5" est donc le chiffre des unités, le seul agencement possible est 145 (a=1 comme vu au point précédent, ce qui donne abc = 1 + 120 + b! = 121 + b! et doit avoir un "5" au chiffre des unités, le chiffre des unités de b est donc 4, la seule factorielle d'un naturel strictement inférieur à 5 respectant ce critère étant 4! = 24, b vaut 4) et 1 + 120 + 24 = 145, c'est la seule réponse possible.

Raisonnement basé sur ceux de Max de Beer et Emile Boulanger