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OMB 2022 Finale MIDI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2022 Finale MIDI Question 4
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Cent athlètes sont placés en file, de gauche à droite, selon leur numéro de dossard de 1 à 100. Avant le départ de la course, un commissaire sportif annonce que certains athlètes sont disqualifiés pour cause de dopage. De ce fait, les athlètes restants se déplacent d'un certain nombre de places vers la gauche, sans se dépasser, afin d'occuper toutes les places de gauche, de la 1re à la e place.

Il apparait alors que tous ceux qui restent ont été décalés d'un nombre différent de places. Quel est le plus petit nombre d'athlètes disqualifiés autorisant une telle situation ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 3/5/2022 20:36  Mis à jour : 3/5/2022
Pour commencer, le nombre de places dont un athlète non-disqualifié doit se déplacer correspond au nombre d'athlètes disqualifiés qui étaient situés à sa gauche. Ainsi, si 2 athlètes restants ont leurs numéros consécutifs, ils se déplacent chacun du même nombre de places, ce qui ne respecte pas la condition énoncée dans la question.

Il faut donc un minimum de 1 athlète disqualifié entre 2 athlètes toujours en lice. Comme il faut limiter le nombre d'athlètes éliminés, ce nombre sera 1 et pas plus. Par conséquent, les numéros associés aux athlètes restants ont la même parité (sont soit tous pairs, soit tous impairs).

2 possibilités s'offrent à nous: éliminer tous les athlètes ayant un numéro pair ou tous ceux ayant un numéro impair. Dans les 2 cas, le nombre d'athlètes éliminés est de 50 (100/2 car les numéros associés aux athlètes commencent par 1 (nbre impair) et se terminent par 100 (nbre pair)).

La réponse est 50.
Emile Boulanger
Anonyme
Posté le : 4/5/2022 9:07  Mis à jour : 4/5/2022
Je pense que c'est une très bonne preuve mais peut-être, si je ne me trompe pas, il faudrait quand même montrer que 50 marches. Vous avez prouvé que rien en dessous de 50 ne fonctionne, mais vous devez encore montrer que 50 fonctionne effectivement.
Anonyme
Posté le : 6/5/2022 18:56  Mis à jour : 6/5/2022
Oui, vous avez raison, j'ai un tout petit peu prouvé cela à la fin (entre parenthèses) mais c'est vrai que ce n'est pas très clair

Ainsi, si on supprime tous les nombres pairs, il reste les numéros 1, 3, 5, 7, ... , 97, 99. De 1 à 10, il y a 5 nombres impairs : 1, 3, 5, 7 et 9. Il y en a autant de 11 à 20 (11, 13, 15, 17 et 19), de 21 à 30,... et de 81 à 100, donc 5 nombres impairs par dizaine, comme il y a 10 dizaines dans 100, il y a 10.5 nombres impairs donc 50 athlètes restants et 50 éliminés.

Si on supprime tous les nombres impairs, le raisonnement est le même : 50 nombres impairs de 1 à 100 et donc 50 athlètes éliminés.

J'espère avoir mieux expliqué et merci de vos conseils :)
Anonyme
Posté le : 6/5/2022 19:16  Mis à jour : 6/5/2022
Oups, je viens de me rendre compte que je n'ai pas expliqué le principal : si on supprime les nombres impairs, il n'y a plus de nombres consécutifs.

En effet, un nombre impair peut s'exprimer sous la forme 2k+1 où k est un entier. 2k+2 est donc un nombre pair qui, en l'occurrence, a été supprimé. Ensuite vient 2k+3. Comme 2k est un nombre pair, 2k+3 est impair , ce qui donne 2k+1 et 2k+3 comme nombres restants, et ceux-ci ne sont pas consécutifs.

Comme expliqué précédemment, il s'agit de la condition pour que chaque athlète restant se déplace d'un nombre différent de places. Il en est de même si on supprime tous les nombres pairs : plus de nombres consécutifs donc tous les athlètes se déplacent du même nombre de places.
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