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OMB 2022 Finale MAXI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2022 Finale MAXI Question 1
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Par définition, la factorielle du nombre naturel non nul vaut .

a) Existe-t-il un nombre entier , compris entre 2 et 100, tel que est un carré parfait ? Si oui, lequel ?

b) Le nombre est-il un carré parfait ?

c) Existe-t-il un nombre entier , compris entre 1 et 100, tel que est un carré parfait ?
    i. Si oui, quelles sont toutes les valeurs possibles de ?
    ii. Sinon, existe-t-il deux nombres entiers et distincts, compris entre 1 et 100, tels que est un carré parfait ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 10/5/2022 8:51  Mis à jour : 10/5/2022
Le a pourrait etre une application de la conjecture de Goldbach (qui est un theoreme pour les nombres inferieurs a 100).
Anonyme
Posté le : 11/5/2022 8:39  Mis à jour : 11/5/2022
a) Ce n'est pas la conjecture de Goldbach, mais le postulat de Bertrand qui permet de resoudre facilement cette premiere question. Eliminons d'emblee les cas a = 2, 3, 4. Le postulat de Bertrand affirme qu'il y a un nombre premier entre n et 2*n pour tout n (et a ete prouve entre autres par Ramanujan). Fixons n>2 et appelons p ce premier. Alors (2*n)! est divisible par p, mais pas par p^2, car p^2 > 2n, et n'est donc pas un carre. Appelons maintenant q le nombre premier entre n+1 et 2(n+1). Alors q < 2(n+1), qui est pair, et q divise donc (2n+1)!, mais pas q^2. On appelle ca tuer une mouchette avec un canon.

b) Remarquons que N est un carre parfait ssi N/n^2 est un carre parfait pour un n tel que n^2 <= N.
Or P = (1!)^2 * 2 * (3!)^2 * 4 * ... * (99!)^2 * 100 = n^2 * 2^50 * (50!) pour n = 1! * 3! * 5! *... * 99!, et donc P est un carre parfait ssi 50! est un carre parfait, ce qui est faux par a).

c) Oui: par le b), a = 50 est une valeur possible. (et pour le c.ii: a=50 et b=1 fonctionne)
c.i) Le cas a = 100 peut s'eliminer tres facilement: le facteur premier 97 n'est present que trois fois dans 99!, qui n'est donc pas carre.

Si a est impair, en reprenant le nombre n defini en b), on a que P/a! = (n/a!)^2 * a! * 2^50 * 50! est carre ssi a! * 50! l'est.

Si a est pair et inferieur a 99, P/a! = P/(a+1)! * (a+1) = (n/(a+1)!)^2 * (a+1)! * 2^50 * 50! * (a+1) = (n/(a+1)!)^2 * a! * 2^50 * 50! * (a+1)^2 est carre ssi a! * 50! l'est.

Il nous reste a determiner pour quels 1 < a < 100 le nombre a! * 50! est un carre parfait. Comme le premier 47 divise 50! une seule fois, a>=47. At si a>=53, qui est aussi premier, a! * 50 n'est divisible par 53 qu'une fois. Ainsi, il nous reste cinq candidats autres que a=50: a = 47,48,49,51,52. Pour a > 50, a! * 50! = (50!)^2 * c, avec c = 51 = 3*17 ou c = 51*52 = 3*17*4*13. Comme ni un c ni l'autre ne sont carres, il ne nous reste que trois nombres a verifier. Si a < 50, a! * 50! = (a!)^2 * c, avec c = 50 = 25*2 ou c = 50*49 = 2*25*49 ou c = 50*49*48 = 2*25*49*3*16. Aucun de ces c n'est un carre parfait, donc a = 50 est la seule valeur de a entre 1 et 100 pour laquelle P/a! est un carre parfait.
Anonyme
Posté le : 28/5/2022 12:19  Mis à jour : 28/5/2022
Pour a), sans faire appel à la conjecture. Quand on décompose a! en facteurs premiers, le plus grand nombre premier dans cette décomposition est à exposant 1, donc a! ne peut pas être un carré parfait.
Anonyme
Posté le : 4/6/2022 10:34  Mis à jour : 4/6/2022
Certes, mais il faut le justifier, pas juste le dire!
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