OMB - OMB 2022 Finale MAXI Question 1

OMB 2022 Finale MAXI Question 1

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Par définition, la factorielle $a!$ du nombre naturel $a$ non nul vaut $a!=a \times (a-1) \times \cdots\times 1$ .

a) Existe-t-il un nombre entier $a$ , compris entre 2 et 100, tel que $a!$ est un carré parfait ? Si oui, lequel ?

b) Le nombre $P = 1! \times 2! \times 3! \times \cdots \times 100!$ est-il un carré parfait ?

c) Existe-t-il un nombre entier $a$ , compris entre 1 et 100, tel que $\dfrac{P}{a!}$ est un carré parfait ?
i. Si oui, quelles sont toutes les valeurs possibles de $a$ ?
ii. Sinon, existe-t-il deux nombres entiers $a$ et $b$ distincts, compris entre 1 et 100, tels que $\dfrac{P}{a! \times b!}$ est un carré parfait ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 10/5/2022 8:51 Mis à jour : 10/5/2022
Le a pourrait etre une application de la conjecture de Goldbach (qui est un theoreme pour les nombres inferieurs a 100).

Anonyme	Posté le : 11/5/2022 8:39 Mis à jour : 11/5/2022
a) Ce n'est pas la conjecture de Goldbach, mais le postulat de Bertrand qui permet de resoudre facilement cette premiere question. Eliminons d'emblee les cas a = 2, 3, 4. Le postulat de Bertrand affirme qu'il y a un nombre premier entre n et 2n pour tout n (et a ete prouve entre autres par Ramanujan). Fixons n>2 et appelons p ce premier. Alors (2n)! est divisible par p, mais pas par p^2, car p^2 > 2n, et n'est donc pas un carre. Appelons maintenant q le nombre premier entre n+1 et 2(n+1). Alors q < 2(n+1), qui est pair, et q divise donc (2n+1)!, mais pas q^2. On appelle ca tuer une mouchette avec un canon. b) Remarquons que N est un carre parfait ssi N/n^2 est un carre parfait pour un n tel que n^2 <= N. Or P = (1!)^2 * 2 * (3!)^2 * 4 * ... * (99!)^2 * 100 = n^2 * 2^50 * (50!) pour n = 1! * 3! * 5! ... 99!, et donc P est un carre parfait ssi 50! est un carre parfait, ce qui est faux par a). c) Oui: par le b), a = 50 est une valeur possible. (et pour le c.ii: a=50 et b=1 fonctionne) c.i) Le cas a = 100 peut s'eliminer tres facilement: le facteur premier 97 n'est present que trois fois dans 99!, qui n'est donc pas carre. Si a est impair, en reprenant le nombre n defini en b), on a que P/a! = (n/a!)^2 * a! * 2^50 * 50! est carre ssi a! * 50! l'est. Si a est pair et inferieur a 99, P/a! = P/(a+1)! * (a+1) = (n/(a+1)!)^2 * (a+1)! * 2^50 * 50! * (a+1) = (n/(a+1)!)^2 * a! * 2^50 * 50! * (a+1)^2 est carre ssi a! * 50! l'est. Il nous reste a determiner pour quels 1 < a < 100 le nombre a! * 50! est un carre parfait. Comme le premier 47 divise 50! une seule fois, a>=47. At si a>=53, qui est aussi premier, a! * 50 n'est divisible par 53 qu'une fois. Ainsi, il nous reste cinq candidats autres que a=50: a = 47,48,49,51,52. Pour a > 50, a! * 50! = (50!)^2 * c, avec c = 51 = 317 ou c = 5152 = 317413. Comme ni un c ni l'autre ne sont carres, il ne nous reste que trois nombres a verifier. Si a < 50, a! 50! = (a!)^2 * c, avec c = 50 = 252 ou c = 5049 = 22549 ou c = 504948 = 22549316. Aucun de ces c n'est un carre parfait, donc a = 50 est la seule valeur de a entre 1 et 100 pour laquelle P/a! est un carre parfait.

Anonyme	Posté le : 28/5/2022 12:19 Mis à jour : 28/5/2022
Pour a), sans faire appel à la conjecture. Quand on décompose a! en facteurs premiers, le plus grand nombre premier dans cette décomposition est à exposant 1, donc a! ne peut pas être un carré parfait.

Anonyme	Posté le : 4/6/2022 10:34 Mis à jour : 4/6/2022
Certes, mais il faut le justifier, pas juste le dire!

Anonyme	Posté le : 14/1/2023 22:47 Mis à jour : 14/1/2023
Il me semble que ce que j'ai ecrit est suffisant, non? Qu'est-ce qui n'est pas clair?

Anonyme	Posté le : 14/2/2023 15:36 Mis à jour : 14/2/2023
Bonjour, Pour a), j'applique le même argument, en plus détaillé peut-être (ne serait-ce que pour me convaincre qu'il est correct) : l'idée est d'identifier un facteur premier qui n'apparaît qu'à la puissance 1 dans la décomposition de a! en facteurs premiers pour montrer que a! n'est pas un carré. Si a>=53, 53 est un tel facteur premier (il n'apparaît à la seconde puissance au moins qu'à partir de 106!). Si 29<=a<=52, 29 est un tel facteur premier. Si 17<=a<=28, 17 est un tel facteur premier. Si 11<=a<=16, 11 est un tel facteur premier. De même, 7!, 8!, 9! et 10! ne sont pas des carrés à cause de 7 ; 5!,6! non plus à cause de 5 et pour 2!=2,3!=3x2 et 4!=3x2^2, c'est évident.