OMB - OMB 2022 Finale MAXI Question 3

OMB 2022 Finale MAXI Question 3

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Dans la figure ci-dessous, trois carrés ombrés sont construits sur les côtés d'un triangle $ABC$ , extérieurement au triangle. Trois carrés non ombrés sont construits à partir de sommets des carrés ombrés, comme indiqué sur la figure.

a) Si $ABC$ est un triangle rectangle, que vaut le rapport de la somme des aires des carrés non ombrés à la somme des aires des carrés ombrés ?

c) Et si $ABC$ est un triangle quelconque ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 9/5/2022 19:23 Mis à jour : 9/5/2022
Appelons a, b, c la longueur des cotes du triangle ABC (a=\|BC\|, etc...) Appelons c_A le carre blanc qu'on voit au-dessus du point A sur la figure, a' la longueur de son cote, et t_A le triangle qu'il forme "au-dessus" de A. Notons que l'angle A du triangle ABC est supplementaire de l'angle A de t_A, donc leur cosinus sont opposes. Nous avons donc, en considerant ABC: a^2 = b^2 + c^2 -2bc * cos(A), et en considerant t_A: (a')^2 = b^2 + c^2 +2bc * cos(A), d'ou a^2 + (a')^2 = 2b^2 + 2c^2 Avec une definition evidente pour b' et c', on a de meme: b^2 + (b')^2 = 2a^2 + 2c^2 et c^2 + (c')^2 = 2a^2 + 2b^2 En sommant ces trois identites et en simplifiant, on obtient: (a')^2 + (b')^2 + (c')^2 = 3(a^2 + b^2+c^2).