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OMB 2022 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2022 Finale MAXI Question 3
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Dans la figure ci-dessous, trois carrés ombrés sont construits sur les côtés d'un triangle , extérieurement au triangle. Trois carrés non ombrés sont construits à partir de sommets des carrés ombrés, comme indiqué sur la figure.

a) Si est un triangle rectangle, que vaut le rapport de la somme des aires des carrés non ombrés à la somme des aires des carrés ombrés ?

c) Et si est un triangle quelconque ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 9/5/2022 19:23  Mis à jour : 9/5/2022
Appelons a, b, c la longueur des cotes du triangle ABC (a=|BC|, etc...) Appelons c_A le carre blanc qu'on voit au-dessus du point A sur la figure, a' la longueur de son cote, et t_A le triangle qu'il forme "au-dessus" de A.
Notons que l'angle A du triangle ABC est supplementaire de l'angle A de t_A, donc leur cosinus sont opposes.

Nous avons donc, en considerant ABC:
a^2 = b^2 + c^2 -2bc * cos(A),
et en considerant t_A:
(a')^2 = b^2 + c^2 +2bc * cos(A),
d'ou
a^2 + (a')^2 = 2b^2 + 2c^2

Avec une definition evidente pour b' et c', on a de meme:
b^2 + (b')^2 = 2a^2 + 2c^2
et
c^2 + (c')^2 = 2a^2 + 2b^2

En sommant ces trois identites et en simplifiant, on obtient:

(a')^2 + (b')^2 + (c')^2 = 3(a^2 + b^2+c^2).
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