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OMB 2022 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2022 Finale MAXI Question 4
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Les 590 élèves d'une école seront répartis en 25 classes comptant chacune de 18 à 28 élèves.

a) Existe-t-il une répartition des élèves pour laquelle 22 classes ont le même nombre d'élèves ?

b) Quel est le plus grand nombre naturel pour lequel au moins une répartition des élèves fait que classes ont le même nombre d'élèves ?

c) Existe-t-il une répartition des élèves pour laquelle il n'y a pas trois classes avec le même nombre d'élèves ?

d) Quel est le plus grand nombre naturel pour lequel toute répartition des élèves fait qu'au moins classes ont le même nombre d'élèves ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 30/5/2022 13:13  Mis à jour : 30/5/2022
a ) 22 classes de 23 et 3 classes de 28
b) On sait qu’avec 22 classes ça fonctionne par a). Avec 23 classes de 22, ça ne marche pas puisqu’il faut trop d’élèves à caser en 2 classes.
Essayons 23 classes.
Avec 23 classes de 23, ça donne 529 donc reste 61 à caser sur 2 classes, c’est trop
Avec 23 classes de 24, ça donne 552 donc reste 38 à caser en 2 classes : 20 et 18 ou 2 classes à 19. Cette répartition fonctionne.
Essayons 24 classes. Vite fait car vu ci-dessus, des classes de 23 donnent 38 élèves à caser sur une classe, c’est trop. Et des classes de 24 donnent 576 élèves, reste 14 élèves à caser ce qui est trop peu (18 minimum). Donc ça ne fonctionne pas.
25 classes identiques est impossible car 590 n’est pas un multiple
Réponse : 23
c) Une répartition de 11 classes de 18 élèves et 14 classes de 28 élèves fonctionne
d)Cherchons une répartition utilisant chacun des 11 nombres de 18 à 28.
Avec 11 classes comprenant chacun de ces nombres, on case 11 * (18 + 28)/2 = 253 élèves
Reprenons cette même répartition dans 11 classes supplémentaires, ça donne 22 classes comprenant 506 élèves, il en reste 84 à caser obligatoirement dans 3 classes de 28.
En partant de cette répartition, si on supprime 1 nombre représenté (par exemple 20), il faudra caser les élèves dans d’autres classes (exemple : 2 fois 20 remplacés par 21 et 19).
Dès lors, il y a toujours au moins 3 classes comprenant le même nombre d’élèves
Réponse : n = 3
Anonyme
Posté le : 30/5/2022 13:30  Mis à jour : 30/5/2022
Pour le d) je m'aperçois (sauf erreur) que c'est n=2 vu le raisonnement si dessus (je suis le même anonyme )
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