OMB - OMB 2023 Finale MIDI Question 1

OMB 2023 Finale MIDI Question 1

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Deux sœurs ont des âges à deux chiffres. Quand ils sont juxtaposés (écrits l'un à côté de l'autre), le nombre à quatre chiffres obtenu est un carré parfait. Dans 23 ans, elles auront toujours des âges à deux chiffres qui, juxtaposés dans le même ordre, formeront à nouveau un carré parfait. Quels âges ont aujourd'hui ces deux sœurs ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 20/4/2023 22:48 Mis à jour : 20/4/2023
15 et 21 ans

Anonyme	Posté le : 21/5/2023 20:22 Mis à jour : 21/5/2023
Soit $\bar{ab}$ et $\bar{cd}$ , les âges des sœurs de telle sorte que $\bar{ab}=10a+b$ et idem pour $\bar{cd}$ . Comme nous savons que les nombres obtenus en juxtaposant les âges des sœurs sont des carrés parfaits, notons d'abord $n^2=\bar{abcd}=1000a+100b+10c+d$ avec $n\in\mathbb{N}$ . $23$ ans plus tard, les âges seront $\bar{(a+2)(b+3)}$ et $\bar{(c+2)(d+3)}$ . Le second nombre obtenu est alors $1000(a+2)+100(b+3)+10(c+2)+(d+3)$ , appelons ce nombre $m^2 ,m\in\mathbb{N}$ . Or, $\begin{align}<br /> m^2& =1000(a+2)+100(b+3)+10(c+2)+(d+3)\\<br />& =1000a+100b+10c+d+2000+300+20+3<br />& =n^2+2323<br />\end{align}<br />$ On remarque que $m^2-n^2=2323$ , donc : $(m+n)(m-n)=2323$ La décomposition en produit de facteurs premiers de $2323$ est : $23\cdot101$ . De plus, $m,n\in \mathbb{N} \Rightarrow (m+n),(m-n) \in \mathbb{N}$ . On en déduit que $1:$ soit $(m_1+n_1)=2323$ et $(m_1-n_1)=1$ $2:$ soit $(m_2+n_2)=101$ et $(m_2-n_2)=23$ $1)$ $(m_1+n_1)+(m_1-n_1)=2323+1$ $2m_1=2324$ $m_1=1162$ or, on sait que $m^2$ est un nombre à $4$ chiffres, mais ici $(m_1)^2=5400976$ , donc on ne peut pas accepter ces solutions. $2)$ $(m_2+n_2)+(m_2-n_2)=101+23$ $2m_2=124$ $m_2=62$ $(m_2)^2=3844$ Donc $n^2=3844-2323=1521$ Finalement, les âges des deux sœurs sont $15$ ans et $21$ ans. J'espère que le résonnement est clair $\natural$