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OMB 2023 Finale MIDI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2023 Finale MIDI Question 1
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Deux sœurs ont des âges à deux chiffres. Quand ils sont juxtaposés (écrits l'un à côté de l'autre), le nombre à quatre chiffres obtenu est un carré parfait. Dans 23 ans, elles auront toujours des âges à deux chiffres qui, juxtaposés dans le même ordre, formeront à nouveau un carré parfait. Quels âges ont aujourd'hui ces deux sœurs ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 20/4/2023 22:48  Mis à jour : 20/4/2023
15 et 21 ans
Anonyme
Posté le : 21/5/2023 20:22  Mis à jour : 21/5/2023
Soit et , les âges des sœurs de telle sorte que et idem pour .

Comme nous savons que les nombres obtenus en juxtaposant les âges des sœurs sont des carrés parfaits, notons d'abord avec .

ans plus tard, les âges seront et .

Le second nombre obtenu est alors , appelons ce nombre .


Or,




On remarque que , donc :





La décomposition en produit de facteurs premiers de est : . De plus, . On en déduit que

soit et

soit et












or, on sait que est un nombre à chiffres, mais ici , donc on ne peut pas accepter ces solutions.















Donc

Finalement, les âges des deux sœurs sont ans et ans.
J'espère que le résonnement est clair



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