OMB - OMB 2023 Finale MIDI Question 3

OMB 2023 Finale MIDI Question 3

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Par définition, la factorielle $n!$ d'un nombre naturel $n$ non nul vaut $n!=n \times (n-1) \times \cdots\times 1$ . Pour quelles valeurs de $N$ la somme

$1!+2!+3!+4!+ \cdots + N!$
est-elle un carré parfait ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 20/4/2023 18:59 Mis à jour : 20/4/2023


Anonyme	Posté le : 23/4/2023 20:36 Mis à jour : 23/4/2023
On definit S_N=1!+2!+...+N! et on note que pour N>=4, S_N = 3 (mod 10) car S_N = S_4+5!+6!+...+N! = 33+5!+6!+...+N! = 3 (mod 10) car 10\|k! quand k>=5. Mais on sait que 3 n'est pas un résidu quadratique modulo 10 (il n'existe pas de x tel que x^2 = 3 (mod 10)), donc il faut que N<4, ou N=1,2 ou 3. En testant les valeurs on trouve que N est 1 ou 3.

Anonyme	Posté le : 24/4/2023 6:54 Mis à jour : 24/4/2023
modulo 5 ça marche bien aussi ;)

Anonyme	Posté le : 24/4/2023 6:59 Mis à jour : 24/4/2023
En plus on peut utiliser Wilson pour trouver 4!=-1 mod 5 et la réciprocité quadratique pour monter que 3 est non-résidus quadratique

Anonyme	Posté le : 24/4/2023 22:11 Mis à jour : 24/4/2023
1 et 3