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OMB 2023 Finale MIDI Question 3
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OMB 2023 Finale MIDI Question 3
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Par définition, la factorielle
d'un nombre naturel
non nul vaut
. Pour quelles valeurs de
la somme
est-elle un carré parfait ?
Solution(s) proposée(s) :
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Anonyme
Posté le :
20/4/2023 18:59
Mis à jour :
20/4/2023
Anonyme
Posté le :
23/4/2023 20:36
Mis à jour :
23/4/2023
On definit S_N=1!+2!+...+N! et on note que pour N>=4, S_N = 3 (mod 10) car S_N = S_4+5!+6!+...+N! = 33+5!+6!+...+N! = 3 (mod 10) car 10|k! quand k>=5.
Mais on sait que 3 n'est pas un résidu quadratique modulo 10 (il n'existe pas de x tel que x^2 = 3 (mod 10)), donc il faut que N<4, ou N=1,2 ou 3.
En testant les valeurs on trouve que N est 1 ou 3.
Anonyme
Posté le :
24/4/2023 6:54
Mis à jour :
24/4/2023
modulo 5 ça marche bien aussi ;)
Anonyme
Posté le :
24/4/2023 6:59
Mis à jour :
24/4/2023
En plus on peut utiliser Wilson pour trouver 4!=-1 mod 5 et la réciprocité quadratique pour monter que 3 est non-résidus quadratique
Anonyme
Posté le :
24/4/2023 22:11
Mis à jour :
24/4/2023
1 et 3
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