OMB - OMB 2023 Finale MAXI Question 1

OMB 2023 Finale MAXI Question 1

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La notation $\displaystyle{\overline{a_k\ldots a_2a_1a_0}_{\, b}}$ représente le nombre dont les chiffres en base $b$ sont $a_k$ ,..., $a_2$ , $a_1$ et $a_0$ . Par exemple,

$\displaystyle{\overline{235}_{10}=2\times10^2+3\times10+5=235} \textrm{ et }\displaystyle{\overline{235}_7=2\times7^2+3\times7+5=124}.$

Trouver tous les triplets $(x,y,z)$ , avec $x$ , $y$ et $z$ dans $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ et $x\neq0$ , pour lesquels $\displaystyle{\overline{xyz}_{10}=2\times\overline{xyz}_7}$ .

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 20/4/2023 17:03 Mis à jour : 20/4/2023
On note que l'équation peut s'écrire comme 100x+10y+z=2(49x+7y+z) ou 2x=4y+z et on note que 2\|z donc z=0,2,4 ou 6. Chaque cas donne une équation linéaire en termes de x et y et on obtient les valeurs de x en testant des valeurs de y (rappelant que 0<=y<=6 et 0<x<=6). Au final, on obtient les solutions (x,y,z)=(2,1,0), (4,2,0), (6,3,0), (1,0,2), (3,1,2), (5,2,2), (2,0,4), (4,1,4), (6,2,4), (3,0,6) et (5,1,6).

Anonyme	Posté le : 21/4/2023 15:35 Mis à jour : 21/4/2023
(2;1;0) (4;2;0) (6;3;0) (1;0;2) (3;1;2) (5;2;2) (2;0;4) (4;1;4) (6;2;4) (3;0;6) (5;1;6)

Anonyme	Posté le : 28/9/2023 21:15 Mis à jour : 28/9/2023
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