En soustrayant la troisième équation aux deux premières, on obtient le système équivalent
-(z-1/z)&=&0\\(x-1/x)-(y-1/y)&=&0\\1/x+y+z&=&3\end{array}\right.)
qui, en factorisant les deux premières équations respectivement par
)
et
)
, conduit au système
(1+1/(xz))&=&0\\(x-y)(1+1/(xy))&=&0\\1/x+y+z&=&3\end{array}\right.)
Quatre cas sont donc à considérer.
CAS 1:
et
. Dans ce cas, la troisième équation devient
, c'est-à-dire
dont les deux solutions réelles sont
)
et
)
.
CAS 2:
et
. Dans ce cas, la troisième équation devient
, d'où
)
.
CAS 3:
et
. Dans ce cas, la troisième équation devient
, d'où
)
.
CAS 4:
et
. Dans ce cas, la trosiième équation devient
, d'où
, d'où
)
.
En conséquence de quoi, on déduit de ces quatre cas que les solutions du système se trouvent nécessairement parmi les cinq triples
)
,
)
,
)
,
)
et
)
.
Réciproquement, on vérifie sans difficulté particulière que chacun de ceux-ci vérifie les trois équations du système d'origine, menant finalement à l'ensemble des solutions
,(1;1;1),(3;-1/3;3), (3;3;-1/3),(-1/3;3;3)\})
.
