Pour résoudre cet exercice je vais me référer à l'image publiée avec ce commentaire.
Chaque couple de cercles forme une construction similaire à celle présentée sur l'image. Un trapèze est formé par deux rayons de chacun des cercles et la base est un des segments de longueur donnée dont les extrémités sont les points de contacts des sphères avec le plan commun.
(Le trapèze serait un rectangle si deux cercles avaient même rayon, mais ici on voit que cela n'est pas le cas car les longueurs des côtés du triangle de l'énoncé sont toutes différentes.)
Les deux angles inférieurs sont droits. Par la suite, je vais écrire les segments
,
et
comme étant respectivement
,
, et
.
En utilisant Pythagore, on peut déduire l'équation :
^2=(R-r)^2+d^2)
En développant on arrive à :
J'appelle à présent les rayons des trois cercles
,
et
.
On déduit des trois trapèzes le système d'équation suivant :
En résolvant on trouve :
