OMB - OMB 2024 Finale MINI Question 2

OMB 2024 Finale MINI Question 2

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Le carré $IJKL$ , d'aire 1, est inscrit dans le carré $EFGH$ , lui-même inscrit dans le carré $ABCD$ . De plus, $|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=\dfrac13 |AB|$ et $|EI|=|FJ|=|GK|=|HL|=\dfrac13 |EF|$ .

Quelle est l'aire du carré $ABCD$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 24/4/2024 19:02 Mis à jour : 24/4/2024
3,24

Anonyme	Posté le : 24/4/2024 21:37 Mis à jour : 24/4/2024
Ania; (9/5)^2=81/25=3,24

Anonyme	Posté le : 3/5/2024 11:07 Mis à jour : 3/5/2024
L'aire du carré $EFGH$ vaut $\|EF\|^2$ . D'autre part, le carré $EFGH$ est composé du carré $IJKL$ d'aire égale à $1$ et de quatre triangles rectangles isométriques dont un des côtés de l'angle droit vaut $\frac{1}{3}.\|EF\|$ et dont l'autre côté de l'angle droit vaut $\frac{2}{3}.\|EF\|$ . Ainsi, l'aire de chacun de ces triangles rectangles vaut $\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\|EF\|.\frac{2}{3}.\|EF\|=\frac{1}{9}\|EF\|^2.$ En conséquence de quoi, l'aire du carré $EFGH$ vaut également $4.\frac{1}{9}\|EF\|^2+1=\frac{4}{9}\|EF\|^2+1$ et on obtient l'équation $\|EF\|^2=\frac{4}{9}\|EF\|^2+1$ qui aboutit à $\|EF\|^2=\frac{9}{5}.$ L'aire du carré $EFGH$ est donc égale à $\frac{9}{5}$ . L'aire du carré $ABCD$ vaut $\|AB\|^2$ . D'autre part, le carré $ABCD$ est composé du carré $EFGH$ d'aire égale à $\frac{9}{5}$ et de quatre triangles rectangles isométriques dont un des côtés de l'angle droit vaut $\frac{1}{3}.\|AB\|$ et dont l'autre côté de l'angle droit vaut $\frac{2}{3}.\|AB\|$ . Ainsi, l'aire de chacun de ces triangles rectangles vaut $\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\|AB\|.\frac{2}{3}.\|AB\|=\frac{1}{9}\|AB\|^2.$ En conséquence de quoi, l'aire du carré $ABCD$ vaut également $4.\frac{1}{9}\|AB\|^2+\frac{9}{5}=\frac{4}{9}\|EF\|^2+\frac{9}{5}$ et on obtient l'équation $\|AB\|^2=\frac{4}{9}\|AB\|^2+\frac{9}{5}$ qui aboutit à $\|AB\|^2=\left(\frac{9}{5}\right)^2.$ L'aire du carré $ABCD$ est donc égale à $\left(\frac{9}{5}\right)^2$ .