OMB - OMB 2008 Finale MINI Question 3 - Solution de Sophie Peng-Casavecchia

OMB 2008 Finale MINI Question 3 - Solution de Sophie Peng-Casavecchia

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Question :

Sur le côté $[CD]$ du carré $ABCD$ , on construit vers l'extérieur le triangle équilatéral $CDE$ ,
puis le triangle équilatéral $CEF$ , le triangle isocèle CFG rectangle en $F$ et le triangle
équilatéral $CGH$ .

(a) Fais un dessin précis de la figure décrite ci-dessus.

(b) Les points $A$ , $B$ et $H$ sont-ils alignés ? Justifie ta réponse par une démonstration.

Solution de Sophie Peng-Casavecchia :

(a)

(b) Par construction, $ABCD$ est un carré, donc $\widehat{BCD} = 90^\circ$ .

Par construction, $CDE$ est un triangle équilatéral, donc $\widehat{DCE} = 60^\circ$ .

Par construction, $CEF$ est aussi un triangle équilatéral, donc $\widehat{ECF} = 60^\circ$ .

Par construction, $CGF$ est un triangle isocèle et rectangle en $F$ . Donc $\widehat{CGF} = \widehat{GCF}$ et $\widehat{CGF} + \widehat{GCF} = 90^\circ$ . On en déduit donc que $\widehat{CGF} = \widehat{GCF} = 45^\circ$ .

Par construction, $HCG$ est un triangle équilatéral, donc $\widehat{HCG} = 60^\circ$ .

$\widehat{BCH} = 360^\circ - \widehat{BCD} - \widehat{DCE} - \widehat{ECF} - \widehat{GCF} - \widehat{HCG}$

$= 360^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 60^\circ - 45^\circ - 60^\circ$

$= 45^\circ.$

$BC = CF$ , $CH = CG$ et $\widehat{BCH} = \widehat{FCG}$ : les triangles $BCH$ et $FCG$ sont donc isométriques.

Donc, $\widehat{HBC} = 90^\circ$ . Or, $\widehat{ABH} = \widehat{ABC} + \widehat{CBH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ .

$\widehat{ABH}$ est donc un angle plat. On en déduit que $A$ , $B$ et $H$ sont alignés.

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Anonyme	Posté le : 4/6/2015 11:06 Mis à jour : 4/6/2015