OMB - OMB 2024 Finale MIDI Question 2

OMB 2024 Finale MIDI Question 2

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Une cuillère de sirop est versée d'une grande bouteille de sirop dans un petit verre d'eau, sans débordement. L'eau et le sirop sont alors soigneusement mélangés, puis une cuillère de même capacité est prélevée du verre et son contenu est entièrement versé dans la bouteille. Ainsi, la bouteille et le verre contiennent chacun une part de liquide « étranger », c'est-à-dire de l'eau dans le sirop de la bouteille et du sirop dans l'eau du verre.

a) Lequel de la bouteille ou du verre contient la plus grande quantité de liquide « étranger » ?

b) Lequel de la bouteille ou du verre contient la plus grande proportion de liquide « étranger » ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 24/4/2024 18:30 Mis à jour : 24/4/2024
La question est presque le même que cette question: https://math.stackexchange.com/questions/3910623/is-there-a-clever-solution-to-arnolds-merchant-problem Pas trop créative ...

Anonyme	Posté le : 30/4/2024 22:29 Mis à jour : 30/4/2024
Désignons par $S$ la quantité initiale de sirop dans la bouteille, par $E$ la quantité initiale d'eau dans le verre et par $c$ la capacité de la cuillère. $a)$ Après le premier transfert, les quantités dans la bouteille et dans le verre sont les suivantes. $\text{bouteille}:\text{ } \text{Sirop}=S-c,\text{ } \text{eau}=0$ $\text{verre}: \text{ }\text{Sirop}=c, \text{ }\text{eau}=E$ La proportion de sirop dans le verre est alors de $\frac{c}{c+E}$ et celle d'eau est alors de $\frac{E}{c+E}$ . Ainsi, la quantité de sirop ponctionnée du verre lors du deuxième transfert est de $\frac{c}{c+E}.c=\frac{c^2}{c+E}$ , tandis que celle d'eau est de $\frac{E}{c+E}.c=\frac{c.E}{c+E}$ . Après le deuxième transfert, les quantités dans la bouteille et dans le verre sont les suivantes, $\text{bouteille}: \text{ }\text{Sirop}=S-c+\frac{c^2}{c+E},\text{ } \text{eau}=\frac{c.E}{c+E}$ $\text{verre}: \text{ }\text{Sirop}=c-\frac{c^2}{c+E}, \text{ }\text{eau}=E-\frac{c.E}{c+E}$ c'est-à-dire $\text{bouteille}: \text{ }\text{Sirop}=\frac{S.(c+E)-c.E}{c+E}, \text{ }\text{eau}=\frac{c.E}{c+E}$ $\text{verre}:\text{ } \text{Sirop}=\frac{c.E}{c+E}, \text{ }\text{eau}=\frac{E^2}{c+E}$ Dès lors, la quantité d'eau dans la bouteille est de $\frac{c.E}{c+E}$ et la quantité de sirop dans le verre est de $\frac{c.E}{c+E}$ . Les deux récipients contiennent donc la même quantité de liquide <<étranger>>. $b)$ La proportion $P_{S,verre}$ de sirop dans le verre est de $P_{S,verre}=\frac{\frac{c.E}{c+E}}{\frac{c.E}{c+E}+\frac{E^2}{c+E}}=\frac{c.E}{c.E+E^2}=\frac{c}{c+E}.$ La proportion $P_{E,bouteille}$ d'eau dans la bouteille est de $P_{E,bouteille}=\frac{\frac{c.E}{c+E}}{\frac{c.E}{c+E}+\frac{S.(c+E)-c.E}{c+E}}=\frac{c.E}{c.E+S.(c+E)-c.E}=\frac{E}{S}.\frac{c}{c+E}.$ La bouteille étant qualifiée de <<grande>> et le verre de <<petit>>, on pourra supposer que $E\leq S$ et donc que $\frac{E}{S}\leq 1$ . En conséquence de quoi $P_{E,bouteille}=\frac{E}{S}.\frac{c}{c+E}\leq 1.\frac{c}{c+E}=\frac{c}{c+E}=P_{S,verre}$ et le verre contient une plus grande proportion de liquide étranger par rapport à la bouteille.