OMB - OMB 2024 Finale MAXI Question 3

OMB 2024 Finale MAXI Question 3

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Les points $B$ , $C$ , $D$ et $E$ sont disposés dans cet ordre sur une droite. Le triangle $ABE$ est rectangle en $B$ et les angles $\widehat{BAC}$ , $\widehat{CAD}$ et $\widehat{DAE}$ sont égaux.

Exprimer (le plus simplement possible!) la longueur $|DE|$ en fonction de $a=|BC|$ et $b=|CD|$ .

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 26/4/2024 23:13 Mis à jour : 26/4/2024
b^2(a+b) / (2a^2 + ab - b^2)

Anonyme	Posté le : 28/4/2024 11:54 Mis à jour : 28/4/2024
J'ai trouvé plus simple mais sans garantie: b²/(2a-b)

Anonyme	Posté le : 28/4/2024 21:08 Mis à jour : 28/4/2024
Effectivement, on peut encore simplifier par a+b

Anonyme	Posté le : 29/4/2024 13:13 Mis à jour : 29/4/2024
On note $h=\|AB\|$ , $c=\|DE\|$ et $\alpha=\widehat{BAC}$ . Dans le triangle rectangle $ABC$ , $\tan(\alpha)=\frac{a}{h} \text{ } (1).$ Dans le triangle rectangle $ABD$ , $\tan(2.\alpha)=\frac{a+b}{h} \text{ } (2).$ En utilisant $(1)$ , on obtient des formules de duplication que $\tan(2.\alpha)=\frac{2.\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}=\frac{2.\frac{a}{h}}{1-\left(\frac{a}{h}\right)^2}=\frac{2.a.h}{h^2-a^2}$ et en égalant à $(2)$ , on obtient $2.a.h^2=(a+b).(h^2-a^2)$ c'est-à-dire $h^2=\frac{(a+b).a^2}{b-a} \text{ } (3).$ Dans le triangle rectangle $ABE$ , $\tan(3.\alpha)=\frac{a+b+c}{h} \text{ } (4).$ En utilisant $(1)$ et $(2)$ , on obtient des formules d'addition $\tan(3\alpha)=\frac{\tan(2\alpha)+\tan(\alpha)}{1-\tan(2\alpha).\tan(\alpha)}=\frac{\frac{a+b}{h}+\frac{a}{h}}{1-\frac{a+b}{h}.\frac{a}{h}}=\frac{\frac{2a+b}{h}}{1-\frac{(a+b).a}{h^2}}$ et en égalant à $(4)$ , on obtient, en remplaçant par $(3)$ , $c=\frac{2a+b}{1-\frac{(a+b).a}{h^2}}-(a+b)=\frac{2a+b}{1-\frac{(a+b).a}{\frac{(a+b).a^2}{b-a}}}-(a+b)=\frac{2a+b}{1-\frac{b-a}{a}}-(a+b)=\frac{2a^2+a.b}{2.a-b}-(a+b)=\frac{2a^2+a.b}{2.a-b}-\frac{(a+b).(2.a-b)}{2.a-b}=\frac{b^2}{2.a-b}$