OMB - OMB 2024 Finale MAXI Question 4

OMB 2024 Finale MAXI Question 4

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Soit $S(n)$ la somme des chiffres du nombre naturel $n$ .

Tout nombre obtenu en supprimant un ou plusieurs chiffres situés (le plus) à droite dans $n$ est appelé une souche de $n$ . Par exemple, les souches de 2345 sont 234, 23 et 2.

Soit $T(n)$ la somme de toutes les souches de $n$ .

Montrer que le quotient

$\frac{n-S(n)}{T(n)}$

est un entier indépendant de $n$ quel que soit le naturel $n\geq10$ .

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 26/4/2024 11:39 Mis à jour : 26/4/2024
Désignons par $a_ka_{k-1}...a_2a_1a_0$ la représentation en base $10$ de $n$ . Ainsi, $n=\sum_{i=0}^{k}(a_i.10^i)$ et $S(n)=\sum_{i=0}^{k}a_i$ . Pour la somme des souches, on note que que chaque chiffre $a_i$ apparaît exactement $i$ fois, pour chacune des puissances de $10$ strictement inférieure à $10^i$ , d'où $T(n)=\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.\sum_{i=0}^{i-1}10^j\right)$ . Puisque $\sum_{i=0}^{i-1}10^j$ est la somme partielle d'une suite géométrique de raison $10$ et de premier terme $1$ , on a que $\sum_{i=0}^{i-1}10^j=1.\frac{10^i-1}{10-1}=\frac{10^i-1}{9}$ et donc $T(n)=\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.\frac{10^i-1}{9}\right)=\frac{1}{9}\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.(10^i-1)\right)$ . En conséquence de quoi, $\frac{n-S(n)}{T(n)} = \frac{\sum_{i=0}^{k}(a_i.10^i)-\sum_{i=0}^{k}a_i}{\frac{1}{9}\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.(10^i-1)\right)}=\frac{\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.(10^i-1)\right)}{\frac{1}{9}\sum_{i=0}^{k}\left(a_i.(10^i-1)\right)}=\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$ .