OMB - OMB 2008 Finale MAXI Question 1 - Solution de Jingran Lin

OMB 2008 Finale MAXI Question 1 - Solution de Jingran Lin

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Question :

Soient $r$ le rayon du cercle inscrit, $R$ le rayon du cercle circonscrit, $p$ le périmètre et $c$ la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

(a) Démontrer que

$\frac{p}{c}-\frac{r}{R}=2.$

(b) Parmi tous les triangles rectangles, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le rapport $\displaystyle\frac{r}{R}$ ? Pour quels triangles rectangles ce maximum est-il atteint ?

Solution de Jingran Lin :

Soient $a$ et $b$ les deux côtés de l'angle droit.

(a) Comme $ABC$ est un triangle rectangle, et $c$ la longueur de l'hypoténuse, on a $c=2R$ .

D'autre part, dans un triangle rectangle, le rayon du cercle inscrit est:

$r=\frac{a+b-c}2.$

Le périmètre est : $p=a+b+c$ .

Donc :

$\frac{p}{c}-\frac{r}{R}=\frac{a+b+c}{c}-\frac{\frac{a+b-c}2}{R}<br />=\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+b-c}{2R}<br />=\frac{a+b+c-(a+b-c)}{c} =2$

puisque $2R=c$ .

(b) Posons $\alpha=\widehat{BAC}$ .

De (a) on a $r=\frac{a+b-c}2$ et $R=\frac{c}2$ , donc

$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a+b-c}2}{\frac{c}2}=\frac{a+b-c}{c}=\frac{c\sin\alpha+c\cos\alpha-c}{c}=\sin\alpha+\cos\alpha-1.$

On a par ailleurs
$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+\sin2\alpha.$

Cette dernière expression est maximale lorsque $\alpha=45^{\circ}$ , donc $\sin\alpha+\cos\alpha$ est également maximale pour cette valeur et enfin $\sin\alpha+\cos\alpha-1$ l'est à son tour.

Le rapport $\frac{r}{R}$ prend sa plus grande valeur lorsque $\alpha=45^{\circ}$ , c'est-à-dire lorsque $ABC$ est un triangle rectangle isocèle.

Dans ce cas, ce rapport vaut

$\sin45^{\circ}+\cos45^{\circ}-1=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2-1=\sqrt2-1.$

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Anonyme	Posté le : 30/3/2009 23:17 Mis à jour : 30/3/2009
Pas mal, mais il n'était pas nécessaire de connaître la formule du rayon du cercle inscrit pour faire la démonstration !

Loïc Burger	Posté le : 14/4/2009 0:10 Mis à jour : 14/4/2009
Pour le (b), j'aurais plutôt utilisé la relation existante entre la moyenne arithmétique et la moyenne quadratique en partant du rapport r/R = (a+b-c)/c , comme utilisé dans la démonstration de Lin. Mais bon, c'est du pareil au même Good job

Anonyme	Posté le : 18/2/2010 12:02 Mis à jour : 18/2/2010
Can anyone give a quick prove for Euler's inequility, ie. Given a triangle ABC, R>=2r (R is the circumcircle's radius and r is the inscribed circle's radius)