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OMB 2008 Finale MAXI Question 1 - Solution de Jingran Lin Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MAXI Question 1 - Solution de Jingran Lin
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Question :

Soient le rayon du cercle inscrit, le rayon du cercle circonscrit, le périmètre et la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

(a) Démontrer que





(b) Parmi tous les triangles rectangles, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le rapport ? Pour quels triangles rectangles ce maximum est-il atteint ?



Solution de Jingran Lin :




Soient et les deux côtés de l'angle droit.


(a) Comme est un triangle rectangle, et la longueur de l'hypoténuse, on a .

D'autre part, dans un triangle rectangle, le rayon du cercle inscrit est:



Le périmètre est : .

Donc :



puisque .


(b) Posons .

De (a) on a et , donc




On a par ailleurs




Cette dernière expression est maximale lorsque , donc est également maximale pour cette valeur et enfin l'est à son tour.

Le rapport prend sa plus grande valeur lorsque , c'est-à-dire lorsque est un triangle rectangle isocèle.

Dans ce cas, ce rapport vaut






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Anonyme
Posté le : 30/3/2009 23:17  Mis à jour : 30/3/2009
Pas mal, mais il n'était pas nécessaire de connaître la formule du rayon du cercle inscrit pour faire la démonstration !
Loïc Burger
Posté le : 14/4/2009 0:10  Mis à jour : 14/4/2009
Pour le (b), j'aurais plutôt utilisé la relation existante entre la moyenne arithmétique et la moyenne quadratique en partant du rapport r/R = (a+b-c)/c , comme utilisé dans la démonstration de Lin. Mais bon, c'est du pareil au même

Good job
Anonyme
Posté le : 18/2/2010 12:02  Mis à jour : 18/2/2010
Can anyone give a quick prove for Euler's inequility, ie. Given a triangle ABC, R>=2r
(R is the circumcircle's radius and r is the inscribed circle's radius)
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