Soient un nombre réel strictement positif et un nombre naturel supérieur ou égal à 3. Dans le plan, points sont donnés et, quel que soit le choix de trois de ces points, il y en a au moins deux dont la distance est inférieure ou égale à . Montrer qu'il existe alors deux disques de rayon dont la réunion contient les points considérés.

Supposons que, parmi les points considérés, il y ait deux points et tels que . Dès lors, pour tout , considérons le triangle . Par hypothèse, nous avons alors soit , soit . Par extension, appartient à un des disques et~, centrés en respectivement , et de rayon . Ceci démontre la propriété pour ce cas particulier.

Dans la suite, nous pouvons donc supposer que pour tout . Choisissons alors un point quelconque . Comme la distance de à un point quelconque de l'ensemble considéré est inférieure à , tous les points appartiennent au disque centré en et de rayon . Cette constatation clôt la résolution du problème.