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OMB 2008 Finale MAXI Question 4 - Solution de Hoan-Phung Bui Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MAXI Question 4 - Solution de Hoan-Phung Bui
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Question :

Sachant que les nombres entiers et sont multiples de 6, démontrer que

(a) si , et sont des nombres entiers, est un nombre entier multiple de 6 pour tout naturel non nul ;

(b) si , et sont des nombres réels et si le produit est un nombre entier pair, est un nombre entier multiple de 6 ;

(c) si , et sont des nombres réels et si le produit est un nombre entier pair, est un nombre entier multiple de 6 pour tout naturel non nul.



Solution de Hoan-Phung Bui :


On a . Or, et sont des entiers multiples de 6 par hypothèse, d'où est divisible par 6, et donc est un entier divisible par 3.

On remarque également que










(a)

- Les cas et sont réglés par hypothèse. est pair (car divisible par 6), donc au moins un des trois entiers , , ou est pair et donc est pair.

- . Grâce à la formule (1), comme , , et sont des nombres entiers, alors est un nombre entier. De plus, , et sont divisibles par 6 (car est pair), d'où est un multiple de 6.

- . Les termes utilisés sont entiers, et , et sont divisibles par 6, d'où est un multiple de 6.


(b et c)

- Les cas et sont réglés par hypothèse.

- . Grâce à la formule (1), comme tous les termes sont des entiers alors est un entier. De plus , , et sont divisibles par 6 (car est pair), donc est divisible de 6.

- . Les termes utilisés sont entiers, et , et sont divisibles par 6, d'où est un multiple de 6.



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