OMB - OMB 2008 Finale MAXI Question 4 - Solution de Hoan-Phung Bui

OMB 2008 Finale MAXI Question 4 - Solution de Hoan-Phung Bui

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Question :

Sachant que les nombres entiers $X+Y+Z$ et $X^2+Y^2+Z^2$ sont multiples de 6, démontrer que

(a) si $X$ , $Y$ et $Z$ sont des nombres entiers, $X^n+Y^n+Z^n$ est un nombre entier multiple de 6 pour tout $n$ naturel non nul ;

(b) si $X$ , $Y$ et $Z$ sont des nombres réels et si le produit $X Y Z$ est un nombre entier pair, $X^3+Y^3+Z^3$ est un nombre entier multiple de 6 ;

(c) si $X$ , $Y$ et $Z$ sont des nombres réels et si le produit $X Y Z$ est un nombre entier pair, $X^n+Y^n+Z^n$ est un nombre entier multiple de 6 pour tout $n$ naturel non nul.

Solution de Hoan-Phung Bui :

On a $X^2+Y^2+Z^2=(X+Y+Z)^2-2(XY+YZ+XZ)$ . Or, $X+Y+Z$ et $X^2+Y^2+Z^2$ sont des entiers multiples de 6 par hypothèse, d'où $2(XY+YZ+XZ)$ est divisible par 6, et donc $XY+YZ+XZ$ est un entier divisible par 3.

On remarque également que

$X^n+Y^n+Z^n=$

$(X^{n-1}+Y^{n-1}+Z^{n-1})(X+Y+Z)-(XY+YZ+XZ)(X^{n-2}+Y^{n-2}+Z^{n-2})$

$+XYZ(X^{n-3}+Y^{n-3}+Z^{n-3})\qquad\qquad \mbox{(1)}$

(a)

- Les cas $n=1$ et $n=2$ sont réglés par hypothèse. $X+Y+Z$ est pair (car divisible par 6), donc au moins un des trois entiers $X$ , $Y$ , ou $Z$ est pair et donc $XYZ$ est pair.

- $n=3$ . Grâce à la formule (1), comme $X$ , $Y$ , et $Z$ sont des nombres entiers, alors $X^3+Y^3+Z^3$ est un nombre entier. De plus, $X^2+Y^2+Z^2$ , $X+Y+Z$ et $XYZ(1+1+1)$ sont divisibles par 6 (car $XYZ$ est pair), d'où $X^3+Y^3+Z^3$ est un multiple de 6.

- $n \geq 4$ . Les termes utilisés sont entiers, et $X^{n-1}+Y^{n-1}+Z^{n-1}$ , $X^{n-2}+Y^{n-2}+Z^{n-2}$ et $X^{n-3}+Y^{n-3}+Z^{n-3}$ sont divisibles par 6, d'où $X^n+Y^n+Z^n$ est un multiple de 6.

(b et c)

- Les cas $n=1$ et $n=2$ sont réglés par hypothèse.

- $n=3$ . Grâce à la formule (1), comme tous les termes sont des entiers alors $X^3+Y^3+Z^3$ est un entier. De plus , $X^2+Y^2+Z^2$ , $X+Y+Z$ et $XYZ(1+1+1)$ sont divisibles par 6 (car $XYZ$ est pair), donc $X^3+Y^3+Z^3$ est divisible de 6.

- $n \geq 4$ . Les termes utilisés sont entiers, et $X^{n-1}+Y^{n-1}+Z^{n-1}$ , $X^{n-2}+Y^{n-2}+Z^{n-2}$ et $X^{n-3}+Y^{n-3}+Z^{n-3}$ sont divisibles par 6, d'où $X^n+Y^n+Z^n$ est un multiple de 6.

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