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OMB 2008 Finale MINI Question 2 - Solution de Jessica Mulpas Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MINI Question 2 - Solution de Jessica Mulpas
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Question :

La figure ci-dessous représente une dalle formée de six petits carrés dont le côté mesure 1.


On dispose de nombreuses dalles toutes semblables qui ne peuvent ni être découpées
ni se chevaucher. Avec ces dalles,

(a) est-il possible de construire un carré de côté 10 ?

(b) est-il possible de construire un carré de côté 6 ?

(c) quel est le plus petit carré qu'il est ainsi possible de construire ?



Solution de Jessica Mulpas :


(a) Commençons par calculer le nombre de petits carrés dans un grand carré . Il y en aura donc . Dans chaque dalle, il y en a et n'est pas un multiple de . Il sera impossible d'en former un avec ces dalles sans les couper.


(b) Si l'on place la première dalle comme ceci :



il sera impossible de remplir les carrés 1 et 2, et de même si la pièce est placée dans le coin droit.

Si l'on place la première dalle comme ceci :



il est encore possible de remplir les carrés 3 et 4, mais uniquement comme indiqué, ce qui va engendrer le même problème sur les côtés latéraux que celui rencontré au début de nos constructions : il sera impossible de remplir les carrés 5 et 6.

Impossible de former un carré .


(c) Déterminons le nombre de carrés qui composeront chaque grand carré:

- Un carré sera composé de carré ;
- Un carré sera composé de carrés ;
- etc.

Le premier multiple de 6 (chaque dalle étant composée de 6 carrés) est 36, soit un carré de . Or il est prouvé en (b) qu'il est impossible d'en former un. Le suivant est 144 soit . Le plus petit rectangle que l'on peut former est le suivant :



Or celui-ci, étant de côtés 4 et 6, rentre 6 fois dans un carré . Le est donc le plus petit carré que l'on pourrait construire.




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