Commençons par déterminer les premières valeurs prises par  . Comme )=0) et que la fonction est strictement croissante et positive, =0) . Puisque \geq 1) et \leq f(f(1))=3) , =1,2) ou  . La propriété )=3) écarte la première alternative (1 n'est pas un point fixe de ) et si =3) , alors =3) , ce qui contredit la stricte croissance de . Ainsi, =2) . Dès lors =f(f(1))=3) . Vérifions par récurrence que
=2\times 3^n \,\,\,\textrm{et} \,\,\,f(2\times 3^n)=3^{n+1},)
pour tout naturel  . La propriété est claire pour  puisque nous avons déjà montré que et =3) .
Faisons l'hypothèse d'induction que les propriétés sont vérifiées pour  et montrons que c'est encore le cas pour  . Nous avons =f[f(2\times 3^m)]=2\times 3^{m+1}) . D'autre part, =f[f(3^{m+1})]=3^{m+2}) , ce qui permet d'achever le raisonnement par induction.
Remarquons à présent que
<f(3^n+1)<\cdots<f(3^n+3^n-1)<f(2\times 3^n)=3^{n+1}.)
Il y a  termes distincts à déterminer, à savoir ) avec  et seulement  naturels dans l'intervalle  . Ainsi par monotonie, nous avons
=2\times 3^n +r)
pour tous naturels et  tels que  . Et en prenant l'image par de chaque côté, on déduit encore que
=3\times(3^n+r))
pour les mêmes valeurs de et . Ces deux dernières conditions (avec f(0)=0) déterminent de manière univoque. Réciproquement, il est évident que cette fonction vérifie les critères de l'énoncé.
Observons finalement que  , avec  , de sorte que
=3\times(3^6+549)=3834.)
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