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OMB 2007 Finale MAXI Question 4 - Solution de François Crucifix Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MAXI Question 4 - Solution de François Crucifix
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Question :

Soit une fonction de dans telle que



Que vaut ?



Solution de François Crucifix :


Commençons par déterminer les premières valeurs prises par . Comme et que la fonction est strictement croissante et positive, . Puisque et , ou . La propriété écarte la première alternative (1 n'est pas un point fixe de ) et si , alors , ce qui contredit la stricte croissance de . Ainsi, . Dès lors . Vérifions par récurrence que



pour tout naturel . La propriété est claire pour puisque nous avons déjà montré que et .
Faisons l'hypothèse d'induction que les propriétés sont vérifiées pour et montrons que c'est encore le cas pour . Nous avons . D'autre part, , ce qui permet d'achever le raisonnement par induction.
Remarquons à présent que


Il y a termes distincts à déterminer, à savoir avec et seulement naturels dans l'intervalle . Ainsi par monotonie, nous avons


pour tous naturels et tels que . Et en prenant l'image par de chaque côté, on déduit encore que


pour les mêmes valeurs de et . Ces deux dernières conditions (avec f(0)=0) déterminent de manière univoque. Réciproquement, il est évident que cette fonction vérifie les critères de l'énoncé.
Observons finalement que , avec , de sorte que




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