Le triangle est rectangle avec mesurant 90°. Le segment est perpendiculaire à la droite et tel que .
(a) Si l'amplitude de l'angle vaut 26°, est-il vrai que la bissectrice de l'angle est soit parallèle, soit perpendiculaire à la droite ?
(b) Cette propriété reste-t-elle vraie si l'amplitude de l'angle ne vaut pas 26° ?
(c) La bissectrice de l'angle est-elle toujours parallèle à ? est-elle toujours perpendiculaire à ?
Solution de Mélanie Sedda et François Staelens :
(a) Il existe 2 points et . La bissectrice de coupe en .
- Dans le triangle :
.
- Dans le triangle isocèle de sommet principal : donc
.
- D'où , puis .
Le segment est donc bien perpendiculaire à la bissectrice de l'angle .
- Le milieu de est équidistant des 3 sommets du triangle , d'où le triangle est rectangle en . Les droites et sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
(b) et (c) Supposons alors et .
Le triangle est isocèle de sommet puisque , donc .
La bissectrice de coupe en donc et .
Les angles et sont des angles alternes-internes de même amplitude déterminés par les droites et et la sécante , donc .
On a aussi .
Le triangle est isocèle puisque , donc . D'où .
Dans le triangle , les angles et sont complémentaires donc est perpendiculaire à .
