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OMB 2007 Finale MINI Question 4 - Solution de Mélanie Sedda et François Staelens Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MINI Question 4 - Solution de Mélanie Sedda et François Staelens
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Question :

Le triangle est rectangle avec mesurant 90°. Le segment est perpendiculaire à la droite et tel que .

(a) Si l'amplitude de l'angle vaut 26°, est-il vrai que la bissectrice de l'angle est soit parallèle, soit perpendiculaire à la droite ?

(b) Cette propriété reste-t-elle vraie si l'amplitude de l'angle ne vaut pas 26° ?

(c) La bissectrice de l'angle est-elle toujours parallèle à ? est-elle toujours perpendiculaire à ?



Solution de Mélanie Sedda et François Staelens :


(a) Il existe 2 points et . La bissectrice de coupe en .

- Dans le triangle :

.

- Dans le triangle isocèle de sommet principal : donc

.

- D'où , puis .

Le segment est donc bien perpendiculaire à la bissectrice de l'angle .

- Le milieu de est équidistant des 3 sommets du triangle , d'où le triangle est rectangle en . Les droites et sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.



(b) et (c) Supposons alors et .

Le triangle est isocèle de sommet puisque , donc .

La bissectrice de coupe en donc et .

Les angles et sont des angles alternes-internes de même amplitude déterminés par les droites et et la sécante
, donc .

On a aussi .

Le triangle est isocèle puisque , donc . D'où .

Dans le triangle , les angles et sont complémentaires donc est perpendiculaire à .



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