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OMB 2007 Finale MIDI Question 1 - Solution de Raphaël Egan Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MIDI Question 1 - Solution de Raphaël Egan
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Question :

Le chiffre des unités du nombre naturel est . On effectue successivement les opérations suivantes :
- supprimer le chiffre des unités du nombre ;
- retrancher du nombre obtenu.

Par exemple, le nombre 203 devient 20, puis 14.

Est-il toujours vrai que le nombre final est un multiple de 7 si et seulement si le nombre initial est un multiple de 7 ?



Solution de Raphaël Egan :


Notons tout d'abord que tout nombre naturel peut s'écrire sous la forme avec comme nombre de dizaines et comme chiffres des unités. Donc ici . Notons également l'ensemble des multiples de 7. On doit donc prouver que




et




- Preuve de (1)

Hypothèse : .

Thèse : .

Preuve : Puisque , alors . De plus, puisque . En soustrayant membre à membre, on obtient car la somme ou la différence de deux multiples d'un même naturel est multiple de ce naturel.


- Preuve de (2)

Hypothèse : .

Thèse : .

Preuve : et par hypothèse. En soustrayant membre à membre, on obtient car la somme ou la différence de deux multiples d'un même naturel est multiple de ce naturel. Or, . Pour que ce nombre soit un mutliple de 7, il faut que .



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