OMB - OMB 2007 Finale MIDI Question 1 - Solution de Raphaël Egan

OMB 2007 Finale MIDI Question 1 - Solution de Raphaël Egan

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Question :

Le chiffre des unités du nombre naturel $N$ est $x$ . On effectue successivement les opérations suivantes :
- supprimer le chiffre des unités $x$ du nombre $N$ ;
- retrancher $2x$ du nombre obtenu.

Par exemple, le nombre 203 devient 20, puis 14.

Est-il toujours vrai que le nombre final est un multiple de 7 si et seulement si le nombre initial $N$ est un multiple de 7 ?

Solution de Raphaël Egan :

Notons tout d'abord que tout nombre naturel peut s'écrire sous la forme $10d+x$ avec $d$ comme nombre de dizaines et $x$ comme chiffres des unités. Donc ici $N=10d+x$ . Notons également $\mathbb{7N}$ l'ensemble des multiples de 7. On doit donc prouver que

$10d+x \in \mathbb{7N} \Rightarrow d-2x \in \mathbb{7N}\ \ \ \ \ (1)$

et

$d-2x \in \mathbb{7N} \Rightarrow 10d+x \in \mathbb{7N}\ \ \ \ \ (2)$

- Preuve de (1)

Hypothèse : $N=10d+x \in \mathbb{7N}$ .

Thèse : $d-2x\in \mathbb{7N}$ .

Preuve : Puisque $10d+x\in \mathbb{7N}$ , alors $20d+2x\in \mathbb{7N}$ . De plus, $21 d \in \mathbb{7N}$ puisque $21d=7\times3\times d$ . En soustrayant membre à membre, on obtient $d-2x\in \mathbb{7N}\$ car la somme ou la différence de deux multiples d'un même naturel est multiple de ce naturel.

- Preuve de (2)

Hypothèse : $d-2x\in \mathbb{7N}$ .

Thèse : $N=10d+x \in \mathbb{7N}$ .

Preuve : $21d \in \mathbb{7N}$ et $d-2x\in \mathbb{7N}$ par hypothèse. En soustrayant membre à membre, on obtient $20d+2x\in \mathbb{7N}$ car la somme ou la différence de deux multiples d'un même naturel est multiple de ce naturel. Or, $20 d +2x=2(10d +x)$ . Pour que ce nombre soit un mutliple de 7, il faut que $10 d+x\in \mathbb{7N}$ .

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