OMB - OMB 2007 Finale MIDI Question 3 - Solution de Jingran Lin

OMB 2007 Finale MIDI Question 3 - Solution de Jingran Lin

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Question :

Le triangle $ABC$ est rectangle avec $\widehat{ABC}$ mesurant 90°. Le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse est $D$ et les pieds des perpendiculaires abaissées de $D$ respectivement sur $[BA]$ et $[BC]$ sont $E$ et $F$ . Soient $r_1$ , $r_2$ et $r_3$ les rayons des cercles inscrits aux triangles $AED$ , $EDF$ et $FDC$ respectivement. La formule $r_2=\sqrt{r_1\cdot r_3}$ est-elle toujours correcte ?

Solution de Jingran Lin :

$ED // BF$

$\widehat{BAD}=\widehat{DBC}=\alpha$

Les triangles rectangles $ABD$ et $BCD$ sont semblables,

donc $\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$

ou encore $AD\cdot DC=BD^2=EF^2$ .

Dans un triangle rectangle, le rayon du cercle inscrit vaut

$r=\frac{a+b-c}2$

Donc

$r_1=\frac{AE+ED-AD}2=\frac{AD\cos\alpha+AD\sin\alpha-AD}2=\frac{AD}2(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$ .

$r_2=\frac{ED+DF-EF}2=\frac{EF\cos\alpha+EF\sin\alpha-EF}2=\frac{EF}2(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$ .

$r_3=\frac{DF+FC-DC}2=\frac{DC\cos\alpha+DC\sin\alpha-DC}2=\frac{DC}2(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$ .

$r_1\times r_3=\frac{AD}2\frac{DC}2(\cos\alpha+\sin\alpha-1)^2=\frac{EF^2}4(\cos\alpha+\sin\alpha-1)^2=r_2^2$ .

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Victor Lecomte	Posté le : 22/3/2011 20:39 Mis à jour : 22/3/2011
Pourquoi pas simplement : Puisque $AED$ , $EDF$ et $DFC$ sont rectangles, leurs hypoténuses sont diamètres de leurs cercles respectifs, donc $2r_1 = AD$ , $2r_2 = BD$ et $2r_3 = CD$ . On en tire : $r_2 = \sqrt{r_1.r_3} \Leftrightarrow 4.r_2^2 = 4.r_1.r_3 \Leftrightarrow BD^2 = AD.CD$ , ce qui est le théorème de la hauteur.

Nicolas Radu	Posté le : 22/3/2011 20:59 Mis à jour : 22/3/2011
Ce sont les rayons des cercles inscrits et non circonscrits :). Ceci dit, je participais à cette finale et me suis également trompé de cercles. Je m'en suis rendu compte 10 minutes avant la fin et ai réussi à m'en tirer en disant que, les trois triangles étant semblables, le rapport des deux rayons est le même pour chaque, ce qui ne change pas l'égalité à prouver...

Victor Lecomte	Posté le : 23/3/2011 15:42 Mis à jour : 23/3/2011
Ah oui zut ! J'essaierai de lire les énoncés le jour de la finale...

Anonyme	Posté le : 25/12/2012 19:25 Mis à jour : 25/12/2012
pourquoi r = (a+b-c)/2 ??

Anonyme	Posté le : 25/12/2012 19:32 Mis à jour : 25/12/2012
Non ça ira, j'ai trouvé.