OMB - OMB 2007 Finale MAXI Question 1 - Solution de Amandine Mousset

OMB 2007 Finale MAXI Question 1 - Solution de Amandine Mousset

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Question :

Le triangle $ABC$ est équilatéral. La demi-droite $[BE$ coupe le segment $[AC]$ en $D$
et est telle que $\widehat{CBE}$ mesure 20° et $|DE|=|AB|$ . Que vaut l'amplitude de l'angle $\widehat{BEC}$ ?

Solution de Amandine Mousset :

On montre que l'angle $\widehat{BEC}$ a une amplitude de $20^\circ$ .

Puisque le triangle $ABC$ est équilatéral, on a $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^\circ$ et $|AB|=|BC|=|AC|$ .

De plus, $|AB|=|DE|$ .

Puisque $\widehat{CBE}=20^\circ$ , on en déduit que $\widehat{BDC}=100^\circ$ et $\widehat{CDE}=80^\circ$ .

Posons $F$ , le point de la droite $BE$ tel que $\widehat{DCF}=20^\circ$ .

$\widehat{BCF}$ a une amplitude de $80^\circ$ car $\widehat{C}=60^\circ$ et $\widehat{DCF}=20^\circ$ .

Le triangle $CDF$ est isocèle car $\widehat{CDE}=\widehat{CDF}=80^\circ$ et $\widehat{DCF}=20^\circ$ , donc $\widehat{DFC}=\widehat{CFB}=80^\circ$ . On a donc $|DC|=|FC|$ .

Le triangle $BFC$ est isocèle car $\widehat{CFB}=\widehat{BCF}=80^\circ$ , d'où $|BF|=|BC|$ .

Les triangles $BFC$ et $EDC$ sont isométriques car $|FC|=|DC|$ ; $|BF|=|ED|$ et $\widehat{CFB}=\widehat{CDE}=80^\circ$ .

Dès lors $\widehat{CBF}=\widehat{CED}=\widehat{BEC}=20^\circ$ .

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