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OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Giancarlo Kerg Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Giancarlo Kerg
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Question :

Autour d'un cercle, on dispose successivement chiffres , , , (chacun valant de 0 à 9). Partant de et tournant autour du cercle, on forme le nombre (dont les chiffres successifs sont ) ; partant de et tournant dans le même sens, on forme le nombre et ainsi de suite.

La proposition « si est un diviseur de , alors est aussi un diviseur de chacun des pour » est-elle vraie

(a) pour ?

(b) pour et ?

(c) pour et pour tout ?



Solution de Giancarlo Kerg :


(a)

Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

9 divise donc 9 divise .

Or est la somme des chiffres de tous les d'où 9 divise avec .


(b)

si ;

si ;

si .

Soit la somme de tous les ;

la somme de tous les ;

la somme de tous les .

On a :




De même, 27 divise



De même aussi, 27 divise




Or 3 divise donc 3 divise donc 3 divise .

On permute les uniquement lorsque est multiple de 3, or .


(c)

Non : en voici un contre-exemple. Si , 27 divise 27 mais 27 ne divise pas 72.



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