OMB - OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Giancarlo Kerg

OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Giancarlo Kerg

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Question :

Autour d'un cercle, on dispose successivement $n$ chiffres $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ (chacun valant de 0 à 9). Partant de $a_1$ et tournant autour du cercle, on forme le nombre $A_1=\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$ (dont les chiffres successifs sont $a_1,\,a_2\,,a_3, \dots,a_n$ ) ; partant de $a_2$ et tournant dans le même sens, on forme le nombre $A_2=\overline{a_2a_3a_4\dots a_na_1}$ et ainsi de suite.

La proposition « si $d$ est un diviseur de $A_1$ , alors $d$ est aussi un diviseur de chacun des $A_i$ pour $i\in\{2,3,4,\dots ,n\}$ » est-elle vraie

(a) pour $d=9$ ?

(b) pour $d=27$ et $n=2007$ ?

(c) pour $d=27$ et pour tout $n$ ?

Solution de Giancarlo Kerg :

(a)

Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

9 divise $A_1$ donc 9 divise $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$ .

Or $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$ est la somme des chiffres de tous les $A_i$ d'où 9 divise $A_i$ avec $i\in\lbrace1, 2 , \ldots, n\rbrace$ .

(b)

$10^k \equiv 10 (\mbox{mod }27)$ si $k\equiv 1(\mbox{mod }3)$ ;

$10^k \equiv 19 (\mbox{mod }27)$ si $k\equiv 2(\mbox{mod }3)$ ;

$10^k \equiv 1 (\mbox{mod }27)$ si $k\equiv 0(\mbox{mod }3)$ .

Soit $S_1$ la somme de tous les $a_i$ où $i\equiv 1 (\mbox{mod }3)$ ;

$S_2$ la somme de tous les $a_i$ où $i\equiv 2 (\mbox{mod }3)$ ;

$S_3$ la somme de tous les $a_i$ où $i\equiv 0 (\mbox{mod }3)$ .

On a :

$\begin{eqnarray*} 27 \mbox{ divise } A_1 &\Leftrightarrow & A_1\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ \end{eqnarray*}$

De même, 27 divise $A_2$

$\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow & A_2\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 1\cdot S_1+19\cdot S_2+10\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & (1\cdot S_1+19\cdot S_2+10\cdot S_3)-(1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 9\cdot S_3+9\cdot S_2-18\cdot S_1\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 9(S_1+S_2+S_3)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 3 \mbox{ divise } S_1+S_2+S_3 \end{eqnarray*}$

De même aussi, 27 divise $A_3$

$\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow & A_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 10\cdot S_1+1\cdot S_2+19\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & (10\cdot S_1+1\cdot S_2+19\cdot S_3)-(1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 18\cdot S_1-9\cdot S_2-9\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 18(S_1+S_2+S_3)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\ &\Leftrightarrow & 3 \mbox{ divise } S_1+S_2+S_3 \end{eqnarray*}$

Or 3 divise $A_1$ donc 3 divise $S_1+S_2+S_3$ donc 3 divise $A_3$ .

On permute les $S_k$ uniquement lorsque $n$ est multiple de 3, or $2007=3\times 669$ .

(c)

Non : en voici un contre-exemple. Si $n=2$ , 27 divise 27 mais 27 ne divise pas 72.

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