Autour d'un cercle, on dispose successivement chiffres , , , (chacun valant de 0 à 9). Partant de et tournant autour du cercle, on forme le nombre (dont les chiffres successifs sont ) ; partant de et tournant dans le même sens, on forme le nombre et ainsi de suite.
La proposition « si est un diviseur de , alors est aussi un diviseur de chacun des pour » est-elle vraie
(a) pour ?
(b) pour et ?
(c) pour et pour tout ? |
(a)
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
9 divise donc 9 divise .
Or est la somme des chiffres de tous les d'où 9 divise avec .
(b)
si ; si ;
si .
Soit la somme de tous les où ;
la somme de tous les où ;
la somme de tous les où .
On a :
\\<br /> &\Leftrightarrow & 1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> \end{eqnarray*})
De même, 27 divise 
\\<br /> &\Leftrightarrow & 1\cdot S_1+19\cdot S_2+10\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & (1\cdot S_1+19\cdot S_2+10\cdot S_3)-(1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 9\cdot S_3+9\cdot S_2-18\cdot S_1\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 9(S_1+S_2+S_3)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 3 \mbox{ divise } S_1+S_2+S_3<br /> \end{eqnarray*})
De même aussi, 27 divise 
\\<br /> &\Leftrightarrow & 10\cdot S_1+1\cdot S_2+19\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & (10\cdot S_1+1\cdot S_2+19\cdot S_3)-(1\cdot S_3+10\cdot S_2+19\cdot S_1)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 18\cdot S_1-9\cdot S_2-9\cdot S_3\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 18(S_1+S_2+S_3)\equiv 0 (\mbox{mod }27)\\<br /> &\Leftrightarrow & 3 \mbox{ divise } S_1+S_2+S_3<br /> \end{eqnarray*})
Or 3 divise donc 3 divise donc 3 divise . On permute les uniquement lorsque est multiple de 3, or .
(c)
Non : en voici un contre-exemple. Si , 27 divise 27 mais 27 ne divise pas 72. |