Considérons les ensembles de  points dont trois quelconques ne sont pas alignés. Pour un tel ensemble, formons tous les triangles dont les sommets sont dans cet ensemble.
(a) Si les points sont toujours pris dans le plan et si  , quel est le nombre maximal de triangles qu'une droite de ce plan ne comprenant aucun des 7 points peut couper ?
(b) Si les points sont toujours pris dans l'espace et si , quel est le nombre maximal de triangles qu'un plan ne comprenant aucun des 7 points peut couper ?
(c) Généralisez au cas où est quelconque. |
(a) La droite divise le plan en deux parties. Elle coupe un triangle si et seulement si ses 3 sommets ne sont pas dans la même partie du plan.
Il y a  triangles. Comptons combien de triangles ne sont pas coupés par la droite.
- Si la répartition des points de chaque côté de la droite est 3-4, la droite n'en coupe pas  dans la première partie et  dans la deuxième, donc 5 en tout.
- Si la répartition est 2-5 ou 1-6 ou 0-7, il n'y en a aucun qu'elle ne coupe pas dans la première partie et elle n'en coupe pas  ou  ou  dans la deuxième partie, ce qui est dans tout les cas plus que 5.
Elle en coupe donc au maximum  .
(b) Le cas est similaire au (a) car le plan coupe l'espace en deux parties. Il coupe donc au maximum 30 triangles.
(c) Comme les cas sont similaires, je vais traiter le cas où c'est un plan qui coupe l'espace en deux parties. Il y a  points dans une partie et  dans l'autre. Pour qu'un plan coupe un triangle, il faut au moins un sommet dans chaque partie. Il y a deux cas séparés.
- Deux sommets sont dans la région des points: le plan en coupe )
- Dans l'autre cas, il coupe  .
Il en coupe donc
+C_{n-x}^2\cdot x&=&\frac{x(x-1)(n-x)}2+\frac{(n-x)(n-x-1)x}2\\<br />&=&\frac{x(n-x)(x-1+n-x-1)}2\\<br />&=&\frac{x(n-x)(n-2)}2<br />\end{eqnarray*})
Comme est fixé, maximisons x=-x^2+nx) . Le maximum est en  .
Si est pair, le plan coupe
}2=\frac{n^2(n-2)}8 \mbox{ triangles}.)
Si est impair, le maximum est en  . Le plan coupe
}2=\frac{(n+1)(n-1)(n-2)}8\mbox{ triangles}.)
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