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OMB 2007 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre-Alain Jacqmin Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre-Alain Jacqmin
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Question :

Considérons les ensembles de points dont trois quelconques ne sont pas alignés. Pour un tel ensemble, formons tous les triangles dont les sommets sont dans cet ensemble.

(a) Si les points sont toujours pris dans le plan et si , quel est le nombre maximal de triangles qu'une droite de ce plan ne comprenant aucun des 7 points peut couper ?

(b) Si les points sont toujours pris dans l'espace et si , quel est le nombre maximal de triangles qu'un plan ne comprenant aucun des 7 points peut couper ?

(c) Généralisez au cas où est quelconque.



Solution de Pierre-Alain Jacqmin :


(a) La droite divise le plan en deux parties. Elle coupe un triangle si et seulement si ses 3 sommets ne sont pas dans la même partie du plan.

Il y a triangles. Comptons combien de triangles ne sont pas coupés par la droite.

- Si la répartition des points de chaque côté de la droite est 3-4, la droite n'en coupe pas dans la première partie et dans la deuxième, donc 5 en tout.

- Si la répartition est 2-5 ou 1-6 ou 0-7, il n'y en a aucun qu'elle ne coupe pas dans la première partie et elle n'en coupe pas ou ou dans la deuxième partie, ce qui est dans tout les cas plus que 5.

Elle en coupe donc au maximum .


(b) Le cas est similaire au (a) car le plan coupe l'espace en deux parties. Il coupe donc au maximum 30 triangles.


(c) Comme les cas sont similaires, je vais traiter le cas où c'est un plan qui coupe l'espace en deux parties. Il y a points dans une partie et dans l'autre. Pour qu'un plan coupe un triangle, il faut au moins un sommet dans chaque partie. Il y a deux cas séparés.

- Deux sommets sont dans la région des points: le plan en coupe

- Dans l'autre cas, il coupe .

Il en coupe donc





Comme est fixé, maximisons . Le maximum est en .

Si est pair, le plan coupe



Si est impair, le maximum est en . Le plan coupe






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