OMB - OMB 2006 Finale MINI Question 2

OMB 2006 Finale MINI Question 2

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Henriette possède 2006 morceaux de ficelle, tous de même longueur. Elle les noue l'un à l'autre afin de réaliser un grand filet carré à mailles carrées, chaque morceau de ficelle devient un côté d'une maille. Ci-dessous est représenté un petit filet $2\times 2$ . A chaque noeud, dépassent $2$ , $3$ ou $4$ bouts de ficelle (dessinés en pointillés). Il lui faudra couper ces bouts de ficelle.

(a) Si elle réalise un grand filet $15\times 15$
(i) Combien de morceaux de ficelle devra-t-elle utiliser ?
(ii) Combien de bouts de ficelle qui dépassent devra-t-elle couper ?

(b) Si elle réalise le plus grand filet carré possible avec ses 2006 morceaux de ficelle, combien de bouts de ficelle qui dépassent devra-t-elle couper ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 13/1/2013 2:15 Mis à jour : 13/1/2013
Great inhsgit. Relieved I'm on the same side as you.

Anonyme	Posté le : 12/3/2013 19:43 Mis à jour : 12/3/2013
(ai) Décomposons les morceaux de ficelle horizontaux et les verticaux. Pour les horizontaux : il y aura 16 lignes horizontales (il y a toujours une ligne de plus que la longueur du carré) mais 15 morceaux par ligne. Ce qui nous fait 240 morceaux. Même principe pour les verticaux, ce qui fait un total de 480 morceaux de ficelles. (aii) 3 cas possibles : * un noeud dans un coin : il n'y a jamais que 4 coins. il faudra donc couper 42 = 8 bouts. un noeud sur un bord : par bord il y a toujours un noeud de moins que la longueur du carré (intervalle). Donc 14 noeuds par bord ! Il y a 4 bords, donc un total de 56 noeuds. 3 bouts par noeuds ==> 168 bouts. * un noeud interne : il y a toujours (n-1)² noeuds internes à un filet, soit 14² = 196 noeuds. 4 bouts par noeud ==> 784 bouts. Ce qui donne un total de 960 bouts. (b) Il faut trouver le naturel n le plus grand respectant l'équation 2n(n+1) <= 2006. On trouve rapidement 31 car 23132 = 1984 morceaux de ficelle utilisés. (on peut approximer l'inéquation en n²<1003.) Même principe que pour la sous-question (aii): * 8 bouts * 3043= 360 bouts * 30304=3600 bouts Ce qui donne un total de 3968 bouts à couper. [proposition de solution par Simon D.]

Anonyme	Posté le : 23/4/2017 12:03 Mis à jour : 23/4/2017