OMB - OMB 2006 Finale MIDI Question 2

OMB 2006 Finale MIDI Question 2

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Dans le tableau ci-dessous, chaque case est repérée par son numéro de ligne et son numéro de colonne. La ligne 1 commence par 2006 et pour passer du nombre inscrit dans la colonne $k$ au nombre inscrit dans la colonne $k+1$ , on soustrait 1. La ligne 2 commence par 2005 et on soustrait à chaque fois 2. La ligne 3 commence par 2004 et on soustrait à chaque fois 3. Et ainsi de suite.

$\begin{tabular}{r|r|r|r|r|r|r|r|} && 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots\\ \hline\\ \hline 1 & &2006 & 2005 & 2004 & 2003 & 2002 & \dots\\ \hline 2 && 2005 & 2003 & 2001 & 1999 & 1997 & \dots\\ \hline 3 && 2004 & 2001 & 1998 & 1995 & \dots & \\ \hline 4 && 2003 & 1999 & 1995 & 1991 & \dots & \\ \hline 5 && 2002 & 1997 & 1992 & \dots & & \\ \hline \dots && & & & & & \\ \hline \end{tabular}$

(a) Quel est le nombre inscrit en ligne $10$ , colonne $20$ ?

(b) Dans quelles cases le nombre 0 figure-t-il ? Expliquer votre réponse.

(c) Si le nombre figurant dans le tableau en ligne $1$ , colonne $1$ est $n$ , comment déterminer, en fonction de $n$ , les cases où figure le nombre $0$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 25/4/2010 20:34 Mis à jour : 25/4/2010
Réponse de la (a) : Soit la ligne i et la colonne j, la valeur se trouvant dans le tableau en (i, j) est 2006 - (i-1) - i(j-1). Ce résultat est directment traduit de l'énoncé (quand on est sur la ligne i en première colonne, on retranche i-1 à la valeur se trouvant en ligne 1, puis, pour les autres colonnes, on retranche autant de fois la valeur de la ligne que l'on se déplace de colonne). Donc, la valeur en (10, 20) est : 2006 - (10-1) - 10(20-1) = 1807. Réponse pour la (b) : En reprenant l'équation définie plus haut, on l'égale à 0. 2006 - (i-1) - i(j-1) = 0 2006 - i + 1 - ij + i = 0 2007 - ij = 0 ij = 2007. Les seules cellules du tableau qui contiennent la valeur 0 sont les cellules dont le produit de la valeur de ligne par celle de colonne donne 2007. Voyons les diviseurs de 2007... {1,3,9,223,669,2007} Donc, les seules cellules du tableau ayant une valeur nulle sont les cellules (1, 2007), (3, 669), (9, 223), (2007, 1), (669, 3), (223, 9). Pour la (c) : Il s'agit d'appliquer la même procédure. Si la valeur est n, il faut trouver la liste des diviseurs entiers de (n+1). L'ensemble des cellules contenant la valeur 0 est la liste des cellules ayant leurs valeurs de ligne et de colonne dont le produit est égal à (n+1).

Anonyme	Posté le : 27/12/2018 18:02 Mis à jour : 27/12/2018
a) Si on regarde bien , le numéro de la de la case est égal à : 2006 - (numéro de la colonne . numéro de la ligne ) + 1. Dans ce cas : 2006 - 200 + 1 = 1807 Nicolas P.