omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2006 Finale MIDI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MIDI Question 2
1509 vues  | Retourner à la liste des questions

Dans le tableau ci-dessous, chaque case est repérée par son numéro de ligne et son numéro de colonne. La ligne 1 commence par 2006 et pour passer du nombre inscrit dans la colonne au nombre inscrit dans la colonne , on soustrait 1. La ligne 2 commence par 2005 et on soustrait à chaque fois 2. La ligne 3 commence par 2004 et on soustrait à chaque fois 3. Et ainsi de suite.





(a) Quel est le nombre inscrit en ligne , colonne ?

(b) Dans quelles cases le nombre 0 figure-t-il ? Expliquer votre réponse.

(c) Si le nombre figurant dans le tableau en ligne , colonne est , comment déterminer, en fonction de , les cases où figure le nombre ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 25/4/2010 20:34  Mis à jour : 25/4/2010
Réponse de la (a) :

Soit la ligne i et la colonne j, la valeur se trouvant dans le tableau en (i, j) est

2006 - (i-1) - i*(j-1).

Ce résultat est directment traduit de l'énoncé (quand on est sur la ligne i en première colonne, on retranche i-1 à la valeur se trouvant en ligne 1, puis, pour les autres colonnes, on retranche autant de fois la valeur de la ligne que l'on se déplace de colonne).

Donc, la valeur en (10, 20) est :

2006 - (10-1) - 10*(20-1) = 1807.

Réponse pour la (b) :

En reprenant l'équation définie plus haut, on l'égale à 0.

2006 - (i-1) - i*(j-1) = 0
2006 - i + 1 - i*j + i = 0
2007 - i*j = 0
i*j = 2007.

Les seules cellules du tableau qui contiennent la valeur 0 sont les cellules dont le produit de la valeur de ligne par celle de colonne donne 2007.

Voyons les diviseurs de 2007...

{1,3,9,223,669,2007}

Donc, les seules cellules du tableau ayant une valeur nulle sont les cellules (1, 2007), (3, 669), (9, 223), (2007, 1), (669, 3), (223, 9).

Pour la (c) :

Il s'agit d'appliquer la même procédure.

Si la valeur est n, il faut trouver la liste des diviseurs entiers de (n+1).

L'ensemble des cellules contenant la valeur 0 est la liste des cellules ayant leurs valeurs de ligne et de colonne dont le produit est égal à (n+1).
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :
Référencement