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OMB 2006 Finale MIDI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MIDI Question 3
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Trois nombres dont le produit vaut sont tels que leur somme est égale à la somme de leurs inverses.

(a) Donner un exemple numérique où les trois nombres sont différents.

(b) Est-il vrai qu'au moins un des nombres vaut toujours ? Si oui, le démontrer, si non, donner un contre-exemple.



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 26/4/2010 5:34  Mis à jour : 26/4/2010
Réponse pour la (a) :

(a, b, c) = (1/2, 1, 2).
Anonyme
Posté le : 7/9/2010 23:24  Mis à jour : 7/9/2010
(b) Soient x,y,z les 3 nombres (réels non nuls)qui vérifient l'énoncé. On a alors

xyz=1 et x+y+z=(1/x)+(1/y)+(1/z)

En chassant les dénominateurs et en tenant compte de xyz=1 , il vient : x+y+z=yz+xz+xy

ssi x(1-z)+y(1-z)+z-xy +1 - 1 = 0

ssi (1-z)(x+y)-(1-z)+1-xy = 0

ssi (1-z)(x+y-1-xy) = 0 [car 1-xy=xyz-xy=xy(z-1)]

ssi (1-z)(1-y)(x-1) = 0

ssi z=1 ou y=1 ou x=1

=> CQFD

(résolu par Julien Robe)
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