OMB - OMB 2006 Finale MIDI Question 4

OMB 2006 Finale MIDI Question 4

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Dans la cible dessinée ci-dessous, il n'y a que deux régions, l'une à 4 points et l'autre à 9 points. Lorsqu'on lance plusieurs flèches successivement, le score est la somme des points marqués dans les régions où les flèches ont abouti.

(a) Existe-t-il des nombres naturels qui ne s'obtiennent pas comme des scores ? Quel est, s'il existe, le plus élevé d'entre eux ?

(b) Certains nombres naturels peuvent être obtenus comme des scores au moins de deux manières différentes. Quel est le plus petit à partir duquel tous les scores suivants peuvent être obtenus au moins de deux manières ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 2/1/2013 5:33 Mis à jour : 2/1/2013
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Anonyme	Posté le : 2/1/2013 12:20 Mis à jour : 2/1/2013
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Anonyme	Posté le : 4/3/2014 18:43 Mis à jour : 4/3/2014
Je voudrais savoir si 36 = 4 lancers à 9 points ou 9 lancers à 4 points est considéré comme un score obtenu de deux manières différentes la décomposition étant la même (36 = 9x4 ou 4x9)

Nicolas Radu	Posté le : 4/3/2014 23:46 Mis à jour : 4/3/2014
Ca me paraît assez clair. Lorsque tu joues au fléchettes et que tu fais 9 lancers à 4 points ou 4 lancers à 9 points, tu ne te dis sûrement pas que tu as obtenu 36 points exactement de la même manière...

Anonyme	Posté le : 19/6/2015 17:41 Mis à jour : 19/6/2015
Bonjour, On peut obtenir les nombres $n=9a+4b$ (a) Pour $a=0$ , on obtient $n=4b$ ( $b\geq 0)$ donc, bien évidemment, tous les multiples de $4$ peuvent être obtenus. Pour Pour $a=1$ , on obtient $n=4b+9=4(b+2)+1$ donc tous les $4k+1$ $(k\geq 2)$ peuvent être obtenus. Pour Pour $a=2$ , on obtient $n=4b+18=4(b+4)+2$ donc tous les $4k+2$ $(k\geq 4)$ peuvent être obtenus. Pour Pour $a=3$ , on obtient $n=4b+27=4(b+6)+3$ donc tous les $4k+3$ $(k\geq 6)$ peuvent être obtenus. Donc tous les nombres naturels peuvent être obtenus à partir de $27$ car ils sont tous de la forme $4k$ ou $4k+1$ ou $4k+2$ ou $4k+3$ , $k\geq 6$ (4 naturels consécutifs et leurs multiples). Pour information, on peut énumérer les nombres naturels inférieurs à 27 qui ne remplissent aucune des conditions énoncées : ceux de la forme $4k+1$ , $k\in \{0;1\}$ : 1 et 5 ; ceux de la forme $4k+2$ , $k\in \{0;1;2;3\}$ : 2,6,10 et 14 ; ceux de la forme $4k+3$ , $k\in \{0;1;2;3;4;5\}$ : 3,7,11,15,19 et 23. Réponse : oui, il en existe et le plus élevé d'entre eux est 23.

Anonyme	Posté le : 19/6/2015 18:02 Mis à jour : 19/6/2015
(b) On peut écrire $n=9a+4b=9a'+4b'$ si $9(a-a')=4(b'-b)$ Comme 9 et 4 sont premiers relatifs, les plus petites valeurs de $a-a'$ et de $b'-b$ qui respectent l'égalité sont 4 et 9. On a donc $a'=a-4$ et $b'=b+9$ : $n=9a+4b=9(a-4)+4(b+9)$ Obtenir $n$ de deux manières nécessite $a\geq 4$ . Le plus petit score recherché est donc $36=9\times 4=4\times 9$ .

Anonyme	Posté le : 24/6/2015 20:50 Mis à jour : 24/6/2015
Ton b) est faux... En effet 37 est supérieur à 36 mais ne peut s'écrire que sous la forme 37=1.9+7.4 Il me semble que la réponse est 60 Sinon on peut utiliser le théorème de Sylvester et on a bien 4.9-4-9=23 mais cela tue le problème