OMB - OMB 2006 Finale MAXI Question 4

OMB 2006 Finale MAXI Question 4

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Les réels positifs $x$ , $y$ sont tels que $y=2-x$ .

(a) Quelle est la valeur maximale de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

(b) Pour quelles valeurs de $(x,y)$ ce maximum est-il atteint ?

(c) Quel est l'ensemble des valeurs de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Philippe Schram
	Solution de Cédric De Groote

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Anonyme	Posté le : 24/7/2011 6:41 Mis à jour : 24/7/2011
(a) et (b): On a, en notant $t = xy$ , $x^2y^2(x^2+y^2) = t^2(4-2t) = 2t^2(2-t)$ . Il est clair que $t \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = 1$ , donc AM-GM done $27t^2(2-t) \leq (t+t+(2-t))^3 = (2+t)^3 \leq 3^3$ , donc $t^2(2-t)\leq 1$ . On trouve que $x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2$ . En plus, AM-GM nous done que si ce maximum et attaint, on doit avoir $t = t = 2-t$ , et donc $t = 1$ . La seule solution $(x,y)$ de $x+y = 2$ en $xy = 1$ , est $(x,y) = (1,1)$ , et donc le seul point ou le maximum peut être attaint, est $(x,y) = (1,1)$ , et on a effectivement $1^21^2(1^2+1^2) = 2$ , le maximum.

Benoît Legat	Posté le : 9/9/2011 13:55 Mis à jour : 9/9/2011
Pour utiliser AM-GM, tes réels doivent être positifs. Or $t-2$ ne l'est pas nécessairement. Dans l'exemple $x=y=1$ , $t-2=-1<0$ . Par contre, $(t+t+(2-t))^3=(t+2)^3$ est strictement positif car $t=xy$ est le produit de deux réels positifs. De plus, $27t^2$ est positif. Tu peux donc dire que si $(2-t)$ est négatif, l'inégalité reste vérifiée car alors $27t^2(2-t)\leq0<(t+t+(2-t))^3$ . C'est une inégalité stricte, il n'y a alors pas de cas d'égalité.