omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2005 Finale MINI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2005 Finale MINI Question 4
1632 vues  | Retourner à la liste des questions

Un cercle de rayon 5 est partagé en quatre arcs de même longueur par les points , , , .

Appelons , , , les arcs , , et .



Soit l'arc symétrique de par rapport à la droite , l'arc symétrique de par rapport à la droite , l'arc symétrique de par rapport à la droite , l'arc symétrique de par rapport à la droite .

(a) Que vaut l'aire de la figure limitée par ?

(b) Que vaut l'aire de la figure limitée par ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 12/3/2013 18:54  Mis à jour : 12/3/2013
Proposition de solutions sans grande conviction :

(a) Si le cercle est partagé en 4 arcs de même longueur... l'angle au centre des arcs est de 90°.
ABCD est donc un carré. (AC et BD sont des diagonales se coupant en leur milieu et perpendiculaire). Les diagonales sont de longueur 10.
La figure x'yz't a la même aire que le carrée ABCD. En effet, l'aire "rentrante" délimitée par x' et le segment AB équilibre l'aire "sortante" délimitée par y et le segment BC. Symétriquement, c'est la même chose avec z'/CD et t/DA.
Le problème revient donc à calculer l'aire d'un carré dont les diagonales vaut 10.
Les diagonales coupent le carré en 4 triangles équilatéraux. Chaque triangle a les deux côtés de l'angle droit qui ont une longueur 5. On peut donc trouver la valeur de l’hypoténuse.
Son carré vaut la somme des carrés des deux autres côtés donc 25+25.
Le carré du côté AB vaut donc 50, c'est donc aussi l'aire du carré donc de la figure x'yz't.

(b) On sait que l'aire ABCD vaut 50. Le problème revient à calculer l'aire délimitée par l'arc x et la droite AB. Nous allons appeler cette aire : R. Il faudra alors retirer 4 fois R à 50.
L'aire du disque est de pi*5²=25pi. La portion de ce disque délimité par OA et OB (O étant le centre du cercle) est donc de 25 pi / 4. R vaudra donc 25 pi / 4 auquel on retranche un quart de l'aire du carré, soit 12,5. R=25*pi/4 - 50/4
Comme nous avons dit qu'il fallait retirer 4R. 4R= 25*pi -50.
L'aire de la figure vaut donc 50-(25*pi-50) = 50 - 25* pi +50 = 100 - 25*pi
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :
Référencement