Soit (x_i) une suite d'entiers naturels consécutifs pour i allant de 1 à un naturel non nul n. La somme demandée est donnée par n*(x_1 + x_n)/2 (suite arithmétique de n termes et de raison = 1) et d'autre part par 2005 (voir énoncé).

2005 = 5*401

Nous avons 2 cas à distinguer :

(a) n impair
(b) n pair

(a) n impair

On a alors n (x_1 + x_n) = 4010

n ne peut valoir que 1, 5, 401 ou 2005 pour qu'on un produit de 2 naturels soit aussi un naturel.

On trouve avec x_n = x_1 + n-1, qu'on a respectivement x_1 = 2005, 399, -195, -1001.

Ainsi, les 2 premières solutions conviennent puisque x_1 doit être un naturel !

(b) n pair (n = 2k)

x_1 = [(2005/k)-2k+1]/2 car x_n = x_1 + 2k-1

On doit donc avoir k= 1, 5, 401 ou 2005.

De la même manière qu'au (a), on trouve

x_1 = 1002, 196, -398, -2004 et on ne peut que retenir les 2 premières solutions à nouveau pour la même raison!

En conclusion, on trouve comme listes recherchées

n=1 et x_1 = 2005

n=2 et x_1 = 1002

n=5 et x_1 = 399

n=10 et x_1 = 196

(résolu par Julien Robe)

Peut-on vraiment considérer comme solution la liste d'un seul élément [2005] ?
Pour que des naturels soient consécutifs, il faut qu'ils soient au moins 2, non ?

C'est vrai que c'est un peu subjectif. Il vaut toujours mieux le préciser dans sa solution (ce sont des humains qui corrigent, ils sont compréhensifs) en disant que c'est une possibilité et qu'on peut la considérer ou non comme une suite selon ses désirs. (Mais il vaut tout de même mieux montrer qu'on y a pensé plutôt que faire comme si elle n'existait pas)

Aucun élève de troisième ou de quatrième année n'est capable de résoudre un tel problème .
Il faut avoir vu la notion de suites arithmétiques .
matière de cinquième année .

Il ne faut pas avoir eu un cours sur les suites arithmétiques pour se rendre compte que la somme de entiers consécutifs est égale, pour impair, à fois le terme du milieu. Cela permet déjà de résoudre facilement le cas où est impair. Pour pair, la somme est cette fois égale à fois un "demi-entier" (terminant par ), ce qui permet de conclure également.

Une intuition ne vaut pas une preuve .

C'est un fait évident, je ne pense même pas qu'il faille donner une preuve pour l'utiliser. Et puis même, voici une preuve en une ligne :



Il s'agit d'une question pour finalistes de l'olympiade, aussi, pas d'une question d'examen de troisième secondaire. Le but est de distinguer les meilleurs étudiants. Je pense de toutes façons qu'une grande partie des finalistes a du réussir cette question en 2005.

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