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OMB 2005 Finale MIDI Question 1
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Quelles sont toutes les listes d'entiers naturels consécutifs dont la somme vaut 2005 ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 5/9/2010 22:55  Mis à jour : 5/9/2010
Soit (x_i) une suite d'entiers naturels consécutifs pour i allant de 1 à un naturel non nul n. La somme demandée est donnée par n*(x_1 + x_n)/2 (suite arithmétique de n termes et de raison = 1) et d'autre part par 2005 (voir énoncé).

2005 = 5*401

Nous avons 2 cas à distinguer :

(a) n impair
(b) n pair
Anonyme
Posté le : 5/9/2010 22:59  Mis à jour : 5/9/2010
(a) n impair

On a alors n (x_1 + x_n) = 4010

n ne peut valoir que 1, 5, 401 ou 2005 pour qu'on un produit de 2 naturels soit aussi un naturel.

On trouve avec x_n = x_1 + n-1, qu'on a respectivement x_1 = 2005, 399, -195, -1001.

Ainsi, les 2 premières solutions conviennent puisque x_1 doit être un naturel !
Anonyme
Posté le : 5/9/2010 23:03  Mis à jour : 5/9/2010
(b) n pair (n = 2k)

x_1 = [(2005/k)-2k+1]/2 car x_n = x_1 + 2k-1

On doit donc avoir k= 1, 5, 401 ou 2005.

De la même manière qu'au (a), on trouve

x_1 = 1002, 196, -398, -2004 et on ne peut que retenir les 2 premières solutions à nouveau pour la même raison!
Anonyme
Posté le : 5/9/2010 23:05  Mis à jour : 5/9/2010
En conclusion, on trouve comme listes recherchées

n=1 et x_1 = 2005

n=2 et x_1 = 1002

n=5 et x_1 = 399

n=10 et x_1 = 196
Anonyme
Posté le : 5/9/2010 23:06  Mis à jour : 5/9/2010
(résolu par Julien Robe)
Anonyme
Posté le : 12/3/2013 21:45  Mis à jour : 12/3/2013
Peut-on vraiment considérer comme solution la liste d'un seul élément [2005] ?
Pour que des naturels soient consécutifs, il faut qu'ils soient au moins 2, non ?
Nicolas Radu
Posté le : 16/3/2013 10:45  Mis à jour : 16/3/2013
C'est vrai que c'est un peu subjectif. Il vaut toujours mieux le préciser dans sa solution (ce sont des humains qui corrigent, ils sont compréhensifs) en disant que c'est une possibilité et qu'on peut la considérer ou non comme une suite selon ses désirs. (Mais il vaut tout de même mieux montrer qu'on y a pensé plutôt que faire comme si elle n'existait pas)
Anonyme
Posté le : 14/12/2014 23:21  Mis à jour : 14/12/2014
Aucun élève de troisième ou de quatrième année n'est capable de résoudre un tel problème .
Il faut avoir vu la notion de suites arithmétiques .
matière de cinquième année .
Nicolas Radu
Posté le : 15/12/2014 0:31  Mis à jour : 15/12/2014
Il ne faut pas avoir eu un cours sur les suites arithmétiques pour se rendre compte que la somme de entiers consécutifs est égale, pour impair, à fois le terme du milieu. Cela permet déjà de résoudre facilement le cas où est impair. Pour pair, la somme est cette fois égale à fois un "demi-entier" (terminant par ), ce qui permet de conclure également.
Anonyme
Posté le : 15/12/2014 12:46  Mis à jour : 15/12/2014
Une intuition ne vaut pas une preuve .
Nicolas Radu
Posté le : 15/12/2014 14:53  Mis à jour : 15/12/2014
C'est un fait évident, je ne pense même pas qu'il faille donner une preuve pour l'utiliser. Et puis même, voici une preuve en une ligne :



Il s'agit d'une question pour finalistes de l'olympiade, aussi, pas d'une question d'examen de troisième secondaire. Le but est de distinguer les meilleurs étudiants. Je pense de toutes façons qu'une grande partie des finalistes a du réussir cette question en 2005.
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