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OMB 2005 Finale MIDI Question 2
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Dans un billard rectangulaire , une bille est lancée à partir du coin ; elle rebondit selon les lois de la réflexion sur le côté , puis sur le côté , puis sur le côté et termine sa course dans le coin .

Quelle est la longueur du trajet du centre de la bille sachant que le diamètre de la bille est cm et que les dimensions du billard sont cm et cm ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 12/4/2018 22:02  Mis à jour : 12/4/2018
Soit le rectangle ABCD, les segments AF avec F sur DC et FG avec G sur BC avec angle AFG = angle GFC, les segments GE avec E sur AB et DE avec angle GEB = DEA (car loi de la réflexion) et le point O intersection des segments AF et DE.

Soit l'amplitude de CFG qui vaut x. Comme FCG vaut 90°, FGC vaut 90-x, BGE ayant donc la même valeur (car loi de la réflexion). Comme BGC vaut 180°, EGF vaut donc 180° - 2(90-x) soit 2x.

Comme CFG vaut x, AFD le vaut également. Comme D, F et C sont alignés, AFG vaut donc 180 - 2x.

Comme BGE vaut 90-x et que EBG vaut 90, BEG vaut x, et AED le vaut aussi. Donc pour les même raisons que précédemment, DEG vaut 180-2x.

Comme la somme des angles dans un quadrilatère vaut 360°, EOF vaut 2x.

Si EOF vaut 2x, E,O et F étant alignés, DOF vaut 180-2x. OFD valant x, ODF vaut donc aussi x, et triangle DOF est isocèle avec DO = OF. Comme ADF vaut 90, ADO vaut 90-x. Par calcul d'angle on peut également trouver DAF valant 90-x, donc ADO est aussi isocèle avec DO = AO. Avec le même raisonnement, on trouve AO = EO (car OAE = AEO = x). Donc : AO = OE = FO = DO

Les diagonales du quadrilatère AEDF se coupant en leur milieu et étant égales, AEDF est un carré et donc EF est perpendiculaire à AB et DC.

Comme les angles opposés du quadrilatère OEGF sont égaux, on sait que ses côtés opposés sont également égaux. On a donc OE = FG et OF = EG, or on sait que EO = OF, EOFG est donc un losange.

EF étant la diagonale de ce losange, les triangles EFG et EOF sont donc isométriques.

Comme un angle homologue égal et deux côté homologues égaux, ADO et EOF sont également isométriques.

EGFO étant un losange, on a la diagonale OG perpendiculaire à la diagonale EF, et donc parallèle à AB et DC.

Comme tous les sommets homologues de ces trois triangles sont alignés et que leurs hauteurs respectives ne sont pas confondues et sont parallèles, et que OG est parallèle à DC, OG étant formé par les deux hauteurs des triangles du losanges issues des sommets O et G, on a donc AB = hauteur issue de O de AOD + hauteur issue de O de OEF + hauteur issue de G de EGF. Les trois triangles étant isométriques, on a donc AB = 3 hauteurs issue de O de AOD.

Comme les deux hauteurs des triangles ADO et EOF issues de O sont parallèles à AE et que le point déterminé par la hauteur sur le segment opposé appartiennent respectivement à AD et à EF, on a deux hauteur issue de o de AOD = AE, donc AE = 2/3 AB et EB = 1/3 de AB.

Par un raisonnement similaire, on trouve le même résultat pour la longueur de GC : Les triangles OEG et OFG sont isométriques car OEGF losange, EF parallèle à BC et E appartient à AB et F appartient à DC, et EF vaut deux hauteurs issue de E du triangle EOG. Donc, BG = 1/2 BC (ça ne servira à rien dans la réponse finale au finale, mais à la fin de la résolution on aurait pu utiliser FG et multiplier par 6 au lieu de Af et multiplier par 3)

A partir de là, il suffit d'utiliser Pythagore pour trouver AF, et multiplier cette longueur par 3 (car AO = OF = DO = OE = EG = GF et AD = AO+OF)

Comme c'est le trajet du centre qu'il faut trouver, on peut retirer 6cm à la longueur et à la largeur du billard.

On a donc AD = 150, DF = 200, et ADG rectangle en D. AF vaut donc racine de 150²+200² soit 250.
En multipliant par 3, on obtient donc 750 centimètres, le trajet de la longueur de la balle vaut donc 750cm
Anonyme
Posté le : 13/4/2018 17:12  Mis à jour : 13/4/2018
J'ai fait une erreur, dans le 7ème paragraphe, c'est un rectangle et non un carré
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