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OMB 2008 Finale MIDI Question 3
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Le triangle est inscrit dans un cercle de centre . La hauteur issue de coupe en . Le cercle de diamètre coupe en et coupe en . Démontrer que est perpendiculaire à .



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Solution


 
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Anonyme
Posté le : 11/4/2014 18:49  Mis à jour : 11/4/2014
Posons F et G, les 2 points d'intersection de la droite DE avec le cercle de centre O.
Posons S, le point d'intersection des droites DE et OA.
On sait que un diamètre perpendiculaire à une corde divise celle-ci en deux parties égales.
Le problème reviendrait donc à prouver que SF]=[SG].
Considérons les triangles SOF et SOG
[SO]=[SO] car c'est le même segment
[OG][OF] car ce sont tous les 2 des rayons du cercle de centre O.
L'angle OGS = L'angle OFS car le triangl OFG est isocèle

Par Pythagore généralisé, on peut écrire:

[SF]²=[OF]²+[OS]²+2.[OF].[OS].cos(l'angle SOF)
[SG]²=[OG]²+[OS]²+2.[OG].[OS].cos(l'angle SOG)
Or, [OF]=[OG] et l'angle SOF = l'angle SOG

On obtient donc:

[SF]²=[OF]²+[OS]²+2.[OF].[OS].cos(l'angle SOF)
[SG]²=[OF]²+[OS]²+2.[OF].[OS].cos(l'angle SOF)
=> [SF]²=[SG]²
<=> [SF]=[SG]

Les triangles SOG et SOC sont donc semblables, donc l'angle SOF = l'angle SOG, ce qui veut dire que OS est la bissectrice de l'angle GOF. Or, on sait que la bissectrice de l'angle formé par les deux côtés isométriques d'un triangle isocèle est perpendiculaire au 3e coté (ici à GF).
Donc [OS] _|_ [DE]

cqfd
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