Soit  le nombre de  positifs et  le nombre de négatifs. Pour qu'un double produit soit négatif, il faut que les deux pris en compte soient de signes contraires. Le nombre de doubles produits négatifs est donc ) , alors que le nombre de doubles produits au total est  .
Afin d'avoir autant de doubles produits négatifs que positifs, il faut donc avoir :
 = \frac{C^2_n}{2})
 = \displaystyle\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{2})
 = \frac{n(n-1)}{4})
 = n(n-1))
^2)
(a) Si  , l'équation devient ^2) , d'où   ou  . Lorsque  , on peut donc prendre trois d'un certain signe et le dernier du signe opposé pour avoir autant de doubles produits positifs que négatifs.
(b) Si  , l'équation devient ^2) , ce qui est impossible dans les entiers vu que  n'est pas un carré parfait.
En général, on remarque que  doit toujours être un carré parfait. Posons alors  :
^2)
 ou 
}{2}) ou }{2}) qui ont chacune des valeurs entières.
Pour tout carré parfait, il existe donc deux valeurs de telles qu'il y ait autant de doubles produits négatifs que positifs. Le fait que soit un carré est donc une condition nécessaire et suffisante. |
