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OMB 2005 Finale MAXI Question 1 - Solution de Nicolas Radu Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2005 Finale MAXI Question 1 - Solution de Nicolas Radu
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Question :

Dans l'expression






les nombres réels non nuls , , , , ne sont pas tous positifs.

Existe-t-il des valeurs de ces nombres réels qui rendent le nombre de doubles produits positifs égal au nombre de doubles produits négatifs

(a) si ?

(b) si ?

Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que le nombre de doubles produits positifs
soit égal au nombre de doubles produits négatifs.



Solution de Nicolas Radu :


Soit le nombre de positifs et le nombre de négatifs. Pour qu'un double produit soit négatif, il faut que les deux pris en compte soient de signes contraires. Le nombre de doubles produits négatifs est donc , alors que le nombre de doubles produits au total est .
Afin d'avoir autant de doubles produits négatifs que positifs, il faut donc avoir :








(a) Si , l'équation devient , d'où ou . Lorsque , on peut donc prendre trois d'un certain signe et le dernier du signe opposé pour avoir autant de doubles produits positifs que négatifs.

(b) Si , l'équation devient , ce qui est impossible dans les entiers vu que n'est pas un carré parfait.

En général, on remarque que doit toujours être un carré parfait. Posons alors :

ou
ou qui ont chacune des valeurs entières.
Pour tout carré parfait, il existe donc deux valeurs de telles qu'il y ait autant de doubles produits négatifs que positifs. Le fait que soit un carré est donc une condition nécessaire et suffisante.



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