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OMB 2005 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2005 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram
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Question :

Dans l'expression






les nombres réels non nuls , , , , ne sont pas tous positifs.

Existe-t-il des valeurs de ces nombres réels qui rendent le nombre de doubles produits positifs égal au nombre de doubles produits négatifs

(a) si ?

(b) si ?

Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que le nombre de doubles produits positifs
soit égal au nombre de doubles produits négatifs.



Solution de Philippe Schram :


La valeur de ces doubles produits ne jouant aucun rôle, on peut remplacer tout négatif par et tout positif par sans changer le nombre de doubles produits négatifs ou positifs (qui est déterminé uniquement par le signe de ses facteurs). Or, dans ce cas, la condition que le nombre de doubles produits négatifs soit égal au nombre de doubles produits positifs et le fait que tous les doubles produits négatifs valent et tous les doubles produits positifs , les doubles produits s'annulent. L'expression de départ devient :





La condition nécessaire sur est donc déjà que est un carré parfait. Montrons qu'elle est suffisante.

Soit l'ensemble des nombres naturels () tels que et tels que est de la même parité que . Il est toujours possible de construire tous ces comme somme d'une certaine configuration de tous les . En effet, on constate d'abord que ce qui revient à la configuration où tous les valent 1. Avec chaque nombre qu'on tourne en , on diminue la somme de (la parité de la somme est donc un invariant). Or, la racine carrée d'un nombre qui est un carré parfait est toujours inférieure à ce nombre (à condition que le nombre soit plus grand que ) et a la même parité.

Il est donc toujours possible de trouver une disposition de tous les telle que
si et seulement si est un carré parfait. On peut donc répondre à la question a) par oui et à la question b) par non. Ceci clôt la résolution du problème.



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