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| Anonyme | Posté le : 4/9/2010 23:40 Mis à jour : 4/9/2010 |
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Rappel : si n = produit de nombres premiers p_i exposant alpha_i alors le nombre de diviseurs positifs est donné par
d(n) = produit des (alpha_i + 1) 2004 = 2^2 * 3 * 167 Notons un multiple de 2004 sous la forme 2004*k avec k = 2^a * 3^b * 167^c * produit de p_i exposant alpha_i de sorte que a,b,c et tous les alpha_i sont des nombres naturels et les p_i étant des nombres premiers différents de 2, de 3 et de 167 ... |
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| Anonyme | Posté le : 4/9/2010 23:45 Mis à jour : 4/9/2010 |
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Nous cherchons alors d(2004*k) : il vaut
(a+3)*(b+2)*(c+2)*produit des (alpha_i + 1) et en imposant que ce nombre doit valoir 20 = 2^2 * 5 , nous trouvons comme unique solution a=2, b=c=0, tous les alpha_i = 0 (càd k=4) Donc, un seul multiple de 2004 possède 20 diviseurs positifs !!! Quelqu'un peut-il confirmer ma réponse svp ? |
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| Francois Staelens | Posté le : 5/9/2010 11:07 Mis à jour : 5/9/2010 |
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Ca me parait juste. On a effectivement que tous les alpha_i sont nuls puisque 20 se décompose en au plus 3 facteurs naturels différents de 1. Ces trois facteurs sont (a+3), (b+2) et (c+2) et ils valent 2, 2 et 5. Comme a,b,c sont naturels, la seule solution est bien (a,b,c)=(2,0,0).
Donc le seul entier recherché est 4*2004=8016. Bravo! |
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| Anonyme | Posté le : 5/9/2010 21:51 Mis à jour : 5/9/2010 |
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Merci Francois, je m'appelle Julien Robe et je suis un passionné des mathématiques qui essaye d'apporter des réponses rigoureuses... Voilà, cette question a donc aussi été résolue par Julien Robe
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| Anonyme | Posté le : 19/6/2011 10:55 Mis à jour : 19/6/2011 |
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Et quels sont les 20 diviseurs de 8016 ????
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| Nicolas Radu | Posté le : 19/6/2011 13:14 Mis à jour : 19/6/2011 |
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On a
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| Anonyme | Posté le : 13/3/2023 19:06 Mis à jour : 13/3/2023 |
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Only one works.
To get the number of factors of a number, you can take its prime factorization and multiply each of the factor’s powers + 1. For 2004, you get 2004 = 2^2*3*167 => (2+1)(1+1)(1+1) =>3*2*2 = 12 12 isn’t a factor of 20, which means that one of the indices of the original prime factors needs to be increased. We need to factorise 20 in a way that none of the factors are 1, because that would mean that we get one of the original prime factors^0, which is 1. The only way that works is 2*2*5. 3 isn’t a factor of 20, so the 3 in 3*2*2 needs to be raised to 5. Therefore, the only multiple of 2004 that has 20 factors is 2004*4. |
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