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OMB 2004 Finale MIDI Question 1
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Parmi tous les entiers positifs multiples de 2004, quels sont ceux qui ont exactement 20 diviseurs positifs ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 4/9/2010 23:40  Mis à jour : 4/9/2010
Rappel : si n = produit de nombres premiers p_i exposant alpha_i alors le nombre de diviseurs positifs est donné par

d(n) = produit des (alpha_i + 1)

2004 = 2^2 * 3 * 167

Notons un multiple de 2004 sous la forme 2004*k
avec k = 2^a * 3^b * 167^c * produit de p_i exposant alpha_i de sorte que a,b,c et tous les alpha_i sont des nombres naturels et les p_i étant des nombres premiers différents de 2, de 3 et de 167 ...
Anonyme
Posté le : 4/9/2010 23:45  Mis à jour : 4/9/2010
Nous cherchons alors d(2004*k) : il vaut

(a+3)*(b+2)*(c+2)*produit des (alpha_i + 1)

et en imposant que ce nombre doit valoir 20 = 2^2 * 5 , nous trouvons comme unique solution a=2, b=c=0, tous les alpha_i = 0 (càd k=4)

Donc, un seul multiple de 2004 possède 20 diviseurs positifs !!!

Quelqu'un peut-il confirmer ma réponse svp ?
Francois Staelens
Posté le : 5/9/2010 11:07  Mis à jour : 5/9/2010
Ca me parait juste. On a effectivement que tous les alpha_i sont nuls puisque 20 se décompose en au plus 3 facteurs naturels différents de 1. Ces trois facteurs sont (a+3), (b+2) et (c+2) et ils valent 2, 2 et 5. Comme a,b,c sont naturels, la seule solution est bien (a,b,c)=(2,0,0).
Donc le seul entier recherché est 4*2004=8016.
Bravo!
Anonyme
Posté le : 5/9/2010 21:51  Mis à jour : 5/9/2010
Merci Francois, je m'appelle Julien Robe et je suis un passionné des mathématiques qui essaye d'apporter des réponses rigoureuses... Voilà, cette question a donc aussi été résolue par Julien Robe
Anonyme
Posté le : 19/6/2011 10:55  Mis à jour : 19/6/2011
Et quels sont les 20 diviseurs de 8016 ????
Nicolas Radu
Posté le : 19/6/2011 13:14  Mis à jour : 19/6/2011
On a donc ses diviseurs sont toutes les combinaisons possibles... A savoir 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 167, 334, 668, 1336, 2672, 501, 1002, 2004, 4008, 8016 si je ne m'abuse.
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