omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2004 Finale MIDI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2004 Finale MIDI Question 3
1720 vues  | Retourner à la liste des questions

2004 bougies seront disposées sur un gâteau à étages. Sur l'étage du haut se trouvent bougies, et chaque autre étage comporte bougies de plus que l'étage immédiatement supérieur ().

(a) Trouver le nombre maximum d'étages d'un tel gâteau.

(b) Pour ce nombre maximum, déterminer toutes les valeurs possibles des nombres naturels et .



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 12/3/2013 21:33  Mis à jour : 12/3/2013
(a)
Soit une suite arithmétique de premier terme n et de raison k; le nombre d'étages sera e.
Se = 2004
Or, Se = (e/2) * (u1+ue)
ue = u1 + (e-1)*r
Donc 2004 = (e/2) * (n+n+(e-1)*k)
4008 = e * (2n + (e-1)*k)
Comme le nombre d'étages doit être maximal, imaginons que k et n sont les plus petits possibles.
Peut-on trouver deux nombres e et n tels que : 4008 = e * (e-1)
e doit être strictement inférieur à 64 (en effet, 64*63>4008)
e étant entier, on sait aussi que e doit être un diviseur de 4008.
Le plus grand diviseur de 4008 inférieur à 63 est 24.
On peut donc considérer e=24.
(b)
L'équation à deux inconnues revient donc à
4008 = 24 * (2n+ 23*k)
ou encore 167 = 23k+2n
k ne peut être pair et est inférieur à 8.
Si k=1, alors n=72
Si k=3, alors n=49
Si k=5, alors n=26
Si k=7, alors n=3

[Proposition par Simon D.]
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :
Référencement