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OMB 2004 Finale MIDI Question 4
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Un jeu de cartes est déposé en un paquet sur la table, dans un ordre que nous qualifierons d'initial. L'opération suivante lui sera appliquée plusieurs fois :

Prendre la carte située tout en haut et la carte située tout en bas, placer au dessus de puis remettre ces deux cartes entre la et la carte des cartes restantes du paquet .

Cette opération est répétée avec la même valeur de en prenant chaque fois les cartes situées alors aux extrémités du paquet comme et .

(a) Est-il certain que les cartes retrouveront à un moment l'ordre
initial ? Si oui, pour la première fois après combien d'opérations ?

(b) Pour quelle(s) valeur(s) de ce nombre d'opérations sera-t-il minimum, et pour quelle(s) valeur(s) de ce nombre sera-t-il maximum ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 9/7/2018 19:50  Mis à jour : 9/7/2018
Tout d’abord, le problème peut être formulé de cette manière :

"Un paquet de 2004 cartes est posé sur la table, dans un ordre qu’on qualifiera d’initial.
Nous séparons le paquet en deux paquets (pas forcément égaux), le plus petit contenant au moins deux cartes, celui "du dessus" se nommera paquet A et l’autre paquet B, ils ont respectivement leur ordre initial A et B.
Ensuite, nous appliquons l’opération suivante :
Au paquet A, nous prenons la carte du dessus et nous la mettons en-dessous du paquet.
Au paquet B, nous prenons la carte du dessous et nous la mettons au-dessus du paquet.
Cette opération est répétée toujours de la même manière.

Question a) :
Arrivera-t-il un moment où les deux paquets retrouveront leur ordre initial respectif en même temps ? Si oui, pour la première fois après combien d’opérations ?

Question b) :
Pour quelle(s) manière(s) de partager le paquet initial ce nombre d’opérations sera-t-il minimum ? Et pour quelle(s) manières de partager le paquet initial ce nombre d’opérations sera-t-il maximum ?"

Nous allons essayer de répondre au problème reformulé.



Réponse a) :

Soit m le nombre de cartes que contient le paquet A et n celui du paquet B.

Le paquet A retrouvera son ordre initial toutes les m opérations car à chaque opération (sauf la première), la carte qui est au sommet du paquet se retrouve en-dessous de celle qui était au-dessus d’elle dans l’ordre initial A, ce qui a pour effet de remettre dans l’ordre initial A chacune de ces deux cartes par rapport à l’autre; et après toutes les m opérations, toutes les cartes auront retrouvé leur ordre initial dans le paquet A.

Il en est de même pour le paquet B, il retrouvera son ordre initial toutes les n opérations car l’opération qu’on applique sur le paquet B est "le contraire" de celle qu’on applique sur le paquet A.

Les deux paquets retrouveront donc simultanément leur ordre initial respectif après x opérations, tel que x soit le plus petit commun multiple (PPCM) de m et n.

Réponse b) :

Le nombre minimum (non nul) d’opérations nécessaires pour que les deux paquets retrouvent leur ordre initial respectif en même temps doit être au minimum égal au nombre de cartes que contient le plus grand paquet (comme justifié dans la réponse a).

Il faut donc trouver un moyen de séparer le paquet initial de 2004 cartes en deux paquets de manière à ce que le plus grand des paquets contienne le moins de cartes possible.
Ce nombre est la moyenne entre 0 et 2004, soit 1002.
Preuve : si l’un des paquets contient moins de 1002 cartes, l’autre en contiendra forcément plus que 1002.

Il faudra donc séparer le paquet initial en deux paquets de 1002 cartes; de cette manière, les deux paquets retrouveront leur ordre initial en même temps après 1002 opérations.

Le nombre maximum d’opérations nécessaires pour que les deux paquets retrouvent leur ordre initial respectif en même temps est égal au plus grand PPCM possible des nombres m et n, sachant que m+n=2004, que m>2 et que n>2.

Sachant que la méthode pour trouver le PPCM de deux nombres consiste en une décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres, ensuite en une multiplication de tous les facteurs premiers issus des décompositions excepté les facteurs communs aux deux nombres; pour que le PPCM de m et n soit le plus grand possible, il faudrait que l’un de ces deux nombres, disons m, soit le nombre premier le plus proche de 1002 (qu’il soit supérieur ou inférieur à 1002 n’a pas d’importance).

m étant premier dans ce cas-ci, le PPCM de m et n sera égal à m*n, et le produit de m par n sera le nombre maximum d’opérations nécessaires pour que les deux paquets A et B retrouvent leur ordre initial respectif en même temps.

La manière de partager doit donc être telle que m ou n soit le nombre premier le plus proche de 1002.




(Fin de la réponse)

Pour info je suis élève de troisième année, et à l’heure où j’écris ce message nous sommes le 9 juillet 2018.
Pour la réponse b je n’ai pas donné de nombre précis car il m’a fallu chercher sur internet le nombre premier le plus proche de 1002, en l’occurence 997, mais on n’a pas droit à internet à la finale donc voilà.

Les autres lecteurs n’hésitez pas à compléter ou corriger voire même infirmer ma réponse, car je ne suis pas à l’abri d’une erreur (en plus c’était vraiment long).
Anonyme
Posté le : 9/7/2018 19:51  Mis à jour : 9/7/2018
Et puis je ne sais pas si on a le droit de reformuler le problème à notre manière puis de répondre à "notre problème".
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