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(a) On teste le polynôme de degré 2 p(x) = (x-2)(x-k) = x^2 - kx -2x +2k. Comme p(0) = 4, on a donc k = 2, c'est a dire le polynôme p(x) = x^2 -4x + 4 répond aux critères.
(b) On prend un polynôme de degré n p(x) = Sum(i=1 a n)(a_i*x^i), de sorte que:
p(1) = 7 = Sum(i=1 a n)(a_i) (1) et
p(8) = 9 = Sum(i=1 a n)(a_i*8^i) (2)
(1) - (2) donne Sum(i=1 a n)[(8^i - 1)*a_i] = 2
On sait que (8^i - 1) = 7*sum(j=1 a i)(8^(i-1)) (formule de la somme d'une série géométrique), c'est a dire
Sum(i=1 a n)[(8^i - 1)*a_i] = 7*Sum(i=1 a n)[a_i*sum(j=0,i-1)(8^j)], qui est donc un multiple de 7.
L’égalité Sum(i=1 a n)[(8^i - 1)*a_i] = 2 ne peut donc pas être vérifiée pour tout a_i entiers, donc un tel polynôme n'existe pas.
(c) En réécrivant (1)-(2) avec p(8) = n, il vient Sum(i=1 a n)[(8^i - 1)*a_i] = n - 7. Il faut donc que n - 7 soit multiple de 7, c'est-a-dire n appartient a {0;+-7;+-14,...}
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